- •2 Семестр.
- •Лектор: Сухинин м. Ф.
- •Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- •Лемма Арцелы (критерий компактности).
- •Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- •Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- •Лемма о равномерной непрерывности.
- •Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
- •2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
- •Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- •Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- •Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
- •Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- •Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- •Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- •Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- •Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- •Лемма Адамара.
- •Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
- •Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- •Существование полной системы первых интегралов
- •Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- •Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- •Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
- •По условию 4),
- •Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
- •Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.
По условию 4),
где , , (можно считать, что настолько мало, что это выполняется ) в силу следствия 1 из теоремы о дифференцируемости по начальным данным и параметру
то теореме об обратной функции (можно считать, что при ( ), то есть можно выбрать достаточно малым).
− открытая окрестность точки на плоскости и − диффеоморфизм класса , так как инъективно и также .
4) Поскольку − компакт в и , а открыто в , то
Положим
Очевидно, что .
5. Докажем, что , , инъективно.
Допустим, что это не так. Тогда , , . По теореме Больцано-Вейерштрассе и , Так как непрерывна, то . По условию 3 теоремы (обозначение). Поскольку при некотором , открыто в и взаимно-однозначно, то при достаточно больших , а это противоречит выбору и Противоречие! Итак : − диффеоморфизм класса и − открытая окрестность .
6) Построим решение УрЧП (1) следующим образом: пусть . Положим и (см. 2)). Тогда , так как по и , а по построению, . Итак, .
По второй лемме о характеристиках − решение УрЧП (1), причем с поверхности .
7) Единственность. Путь − так же решение УрЧП (1) в и с поверхности . Пусть . Положим и допустим, что . Проведем через характеристику . По первой лемме о характеристиках
(Если , и , то может так как зависит от продолжения на , а это продолжение не единственно) ►
Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
, , (1)
(2)
Область определения оператора Штурма-Лиувилля:
это оператор Штурма-Лиувилля.
def: Функция называется собственной функцией оператора Штурма-Лиувилля, отвечающей собственному значению , если
1)
2)
3) .
Лемма о нулевом собственном значении оператора Штурма-Лиувилля.
Лемма:
Число является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля . При этом является собственной функцией оператора Штурма-Лиувилля, отвечающей собственному значению .
Доказательство:
◄ ( ) Пусть − собственное значение и − соответствующая собственная функция. Тогда
Так как , то
.
(Если , например , то , так как )
Аналогично
( ) Пусть , , . Положим , тогда , , так как и ►
Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.
Пусть не является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля. Тогда функцией Грина называется:
,
где удовлетворяет однородному уравнению (1одн.) .
(то есть удовлетворяет левому граничному условию),
(то есть удовлетворяет правому граничному условию),
– определитель Вронского.
Свойства функции Грина.
1) вещественна и непрерывна на ,
в замкнутых треугольниках
и
2) (симметричность)
3) (удовлетворяет однородному уравнению (1одн.))
4) , (условие скачка производно по диагонали)
5) (удовлетворяет краевым условиям (2))
При этом решение краевой задачи (1), (2) равно
.