Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.

Рассмотрим систему

(1).

Будем предполагать, что и непрерывны в области ( может не существовать).

def: Соотношение называется первым интегралом системы (1) в области G, если выполняется 3 условия:

1)

2) ни в какой окрестности произвольной точки из G.

3) Если – решение системы (1), то (те есть на графике решения системы(1))

def: Система первых интегралов системы (1) называется полной в некоторой области G, если (Якобиан) в каждой точке из G.

Теорема:

Полная система первых интегралов системы (1) задает решение системы (1) (локально).

Доказательство:

◄ Пусть – произвольная точка из G, тогда соотношения определяют неявно единственную функцию в окрестности точки , удовлетворяющую условию . По теореме о неявной функции (эту теорему можно применить, так как и ) в окрестности точки . С другой стороны, по теореме о решения задачи Коши, существует единственное решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию ( – локально удовлетворяет условию Липшица по , так как по предположению непрерывна на G). В силу условия 3), для первых интегралов все функции . В силу единственности неявной функции будет в окрестности точки . ►

Существование полной системы первых интегралов

Теорема:

Пусть – некоторое решение системы (1) на . Тогда в окрестности графика существует полная система первых интегралов системы (1).

Доказательство:

◄ Пусть – точка на графике, а – другая точка на графике. Тогда решение . Далее . В силу единственности интегральной линии, проходящей через точку . Положим (фиксируем ), ( ). Покажем, что соотношение – полная система первых интегралов системы (1).

Проверим 3 условия.

1) функции определены в окрестности графика и по теореме о дифференцируемости по начальным данным и параметру.

2) условие 2) докажем позже.

3) Пусть – решение системы (1), тогда , то есть условие 3) проверено.

Заметим, что (матрица Якоби) – резольвента линейной системы (здесь переменная , а – начальные данные).

По следствию 2 теоремы о дифференцируемости решения задачи Коши по начальным данным и параметру , так как резольвента является ФМР, то есть .

Если бы , для некоторого , в некоторой окрестности из G, то в этой окрестности, а тогда i-я строка матрицы равнялась бы нулю в этой окрестности, а это не так ни в какой окрестности из G, для каждого , то есть условие 2) проверено. – система первых интегралов, заодно доказано, что она является полной. ►

Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.

Рассмотрим систему ОДУ

(1).

В прежних предположениях ( и непрерывны на ).

Пусть − первый интеграл системы (1), тогда

.

Поскольку через каждую точку из проходит график решения, то всюду в будет:

(2)

это линейное однородное УрЧП первого порядка относительно функции .

Обратное утверждение

Пусть , ни в какой окрестности произвольной точки из и удовлетворяет УрЧП (2). Тогда соотношение является первым интегралом системы (1)

Доказательство:

◄ Надо проверить только условие 3).

Пусть − решение системы (1), тогда

,

,

так как − решение УрЧП (2) ►

Лемма:

− первые интегралы системы (1) в области , а − производная функция класса с соответствующей областью определения. Тогда − решение УрЧП (2).

Доказательство:

◄ Подставим это в (2). Имеем

= ,

так как удовлетворяет условию (2) (мы с этого начинали) ►

Теорема:

Общее решение УрЧП (2) имеет вид

(3),

где − полная система первых интегралов системы (1), а − произвольная функция класса с соответствующей областью определения (локально).

Доказательство:

◄ Если определяется по формуле (3), то − решение УрЧП (2) (по лемме).

Обратно: Пусть − произвольное решение УрЧП (2). Покажем, что оно представимо по формуле (3). Имеем

при фиксированном эта алгебраическая система имеет ненулевое решение . Следовательно ее определитель

.

В силу полноты системы первых интегралов

всюду в

следовательно .

По теореме о ранге, существует такая функция

: (локально) ►

Итак, для нахождения общего решения УрЧП (2) находят полную систему первых интегралов соответствующей систем ОДУ (1) . И записывают общее решение УрЧП (2) по формуле (3), то есть , где − произвольная функция с соответствующей областью определения.

Симметричная форма линейных однородных УрЧП первого порядка

Рассмотрим УрЧП

, (4)

где − функции класса , причем . Допустим, что в некоторой окрестности. Разделим на :

− это УрЧП вида (2)

(Роль x играет , роль играет , …, роль играет ). Соответствующая система ОДУ имеет вид:

или (5)

( уравнение) в симметричной форме.

Как показано раньше, для нахождения общего решения УрЧП (4) надо найти полную систему первых интегралов системы (5):

и записать общее решение в виде

,

где − произвольная функция класса с соответствующей областью определения.

Замечание о квазилинейных уравнениях

Рассмотрим УрЧП

(6),

где − функция класса от .

УрЧП (6) − квазилинейное УрЧП первого порядка, оно линейно по , причем . Будем искать решение УрЧП (6) в неявной форме

(7),

где − функция класса , причем всюду в рассматриваемой области.

Получим уравнение для .

Пусть − решение УрЧП (6), подставим это в (7) и продифференцируем по :

, ( ) .

Подставим это в (6) и умножим на , получим

Это УрЧП вида (4) для . Поэтому (см. выше) для нахождения общего решения УрЧП (6) находят полную систему первых интегралов соответствующей системы ОДУ уравнений.

То есть

и записывают общее решение УрЧП (6) в виде (7)

,

− произвольная функция класса с соответствующей областью определения, причем