Интервальное оценивание параметров распределения. Интервальное оценивание среднего квадратичного отклонения нормального распределения.
Точечное и интервальное оценивание среднего квадратического отклонения. Точечной оценкой является выборочное среднее квадратическое отклонение, т.е. неотрицательный квадратный корень из выборочной дисперсии. Дисперсия рассматриваемой случайной величины - выборочного среднего квадратического отклонения s0 – оценивается как дробь
d2 /
(4 
).
Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид
-
U(p)d / (2 s0) ,
где:
– выборочная дисперсия,
U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и раньше),
d – положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше при оценивании дисперсии.
Верхняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид
+ U(p)d / (2 ) ,
где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше.
Пример
7. Для
данных о наработке резцов до отказа
точечной оценкой для среднего
квадратического отклонения является 
.
При доверительной вероятности р =
0,95 нижняя доверительная граница такова:
25,75 – 1,96×161,03 / (2×25,75) = 25,75 – 6,13 = 19,62.
Соответственно верхняя доверительная граница симметрична нижней относительно точечной оценки и равна = 25,75 + 6,13 = 31,88.
Правила интервального оценивания для среднего квадратического отклонения получены из аналогичных правил для оценивания дисперсии с помощью метода линеаризации (см. главу 1.4 или, например, [4, п.2.4]). Как и раньше, доверительный интервал является симметричным, непараметрическим и асимптотическим.
Поскольку среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень их дисперсии, то доверительные границы можно получить, извлекая квадратные корни из одноименных границ для дисперсии.
Пример 8. Для данных о наработке резцов до отказа при доверительной вероятности р = 0,95 согласно примеру 4 доверительный интервал для дисперсии – это [347,37; 978,63]. Извлекая квадратные корни, получаем доверительный интервал [18,64; 31,28] для среднего квадратического отклонения, соответствующий тому же значению доверительной вероятности. Он не является симметричным относительно точечной оценки. Его длина 12,64 несколько больше длины симметричного доверительного интервала 12,26 в примере 7.
Классический подход, основанный на гипотезе нормальности распределения результатов наблюдения, связан с использованием распределения хи-квадрат и сводится к извлечению квадратных корней из доверительных границ для дисперсии.
Пример 9. Применяя формально классический подход к данным о наработке резцов до отказа, исходим из доверительного интервала для дисперсии [462,63; 1029,54], соответствующего доверительной вероятности р = 0,95. Извлекая квадратные корни, находим доверительный интервал для среднего квадратического отклонения [21,51; 32,09]. Как и следовало ожидать, длина этого несимметричного интервала 10,58 меньше длины непараметрического доверительного интервала.