[Править]Пример использования

Предположим, что в одной комнате оказалось 19 бедняков и один миллиардер. Каждый кладет на стол деньги — бедняки из кармана, а миллиардер из чемодана. По пять долларов кладет каждый бедняк, а миллиардер — $1 млрд (10⁹). В сумме получается $1 000 000 095. Если мы разделим деньги равными долями на 20 человек, то получим $50 000 004,75. Это будетсреднее арифметическое значение суммы наличных, которая была у всех 20 человек в этой комнате.

Медиана в этом случае будет равна $5 (полусумма десятого и одиннадцатого, срединных значений ранжированного ряда). Можно интерпретировать это следующим образом. Разделив нашу компанию на две равные группы по 10 человек, мы можем утверждать, что в первой группе каждый положил на стол не больше $5, во второй же не меньше $5. В общем случае можно сказать, что медиана это то, сколько принес с собой средний человек. Наоборот, среднее арифметическое — неподходящая характеристика, так как оно значительно превышает сумму наличных, имеющуюся у среднего человека.

Коэффицие́нт асимметри́и в теории вероятностей — величина, характеризующая асимметрию распределения даннойслучайной величины.

[Править]Определение

Пусть задана случайная величина  , такая что  . Пусть   обозначает третий центральный момент:  , а   — стандартное отклонение  . Тогда коэффициент асимметрии задаётся формулой:

.

[Править]Замечания

• Неформально говоря, коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого, и отрицателен в противном случае.

• Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределенияслучайной величины.

[править]Определение

Пусть задана случайная величина  , такая что  . Пусть   обозначает четвёртый центральный момент:  , а   — стандартное отклонение  . Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой:

.

[править]Замечание

• "Минус три" в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.

[править]Свойства коэффициента эксцесса

• .

• Пусть   — независимые случайные величины с равной дисперсией. Пусть  . Тогда

,

где   — коэффициенты эксцесса соответствующих случайных величин.

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированнойвероятностью.

[править]Определение

Пусть есть вероятностное пространство   и   — вероятностная мера, задающая распределение некоторойслучайной величины  . Пусть фиксировано  . Тогда  -квантилью (или квантилью уровня  ) распределения  называется число  , такое что

[править]Замечания

• Если распределение непрерывно, то  -квантиль однозначно задаётся уравнением

где   — функция распределения  .

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построениидоверительных интервалов равенство:

[править]Медиана и квартили

Квантили нормального распределения

Основная статья: Медиана (статистика)

• 0,25-квантиль называется первым (или нижним) квартилем (от лат. quarta — четверть);

• 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым квартилем;

• 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем.

Интерквартильным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть  . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастныманалогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.