6: Напряжения и перемещения при растяжении и сжатии. Закон Гука.

Р – продольная сила;

l – продольный размер бруса;

а – поперечный размер бруса;

- абсолютное удлинение;

- абсолютное сужение бруса.

(1) - относительная продольная деформация (удлинение);

- относительная поперечная деформация;

Для большинства материалов влияние одной деформации на другую ограничено.

Коэффициент Пуассона показывает взаимное влияние продольной и поперечной деформации друг на друга. При этом для большинства материалов .

В случае растяжения, из имеющейся зависимости , можно записать, при А=const, (2).

Экспериментально установлено, что при малых деформациях для большинства твердых тел имеет место прямая пропорциональность между нагрузкой и абсолютной деформацией.

- закон Гука (3)

Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга) характеризует упругие свойства материалов.

Если возьмем зависимости 1 и 2 и подставим в 3, то получим:

Другими словами, абсолютное удлинение прямо пропорционально внутренней силе действующей на отрезке равном l, и обратно пропорционально площади сечения этого бруса и упругим свойствам материала, из которого изготовлен брус.

7: Допускаемые напряжения и запасы прочности.

Допускаемые напряжения [ ] – это такие напряжения, при которых обеспечивается долговечность и прочность конструкции.

При расчетах элементов конструкции и машин механические характеристики материалов и нагрузок, как правило, отличаются от практических.

Многое факторы, действующие на конструкцию, носят случайный характер и не поддаются прогнозированию.

Механические свойства материалов, как правило, не стабильны. Учет всех факторов при расчетах вносит усложнения и неоправданные затраты труда и времени.

Для надежной работы элементов конструкции принимают коэффициент запаса прочности по отношению к экспериментально определенным механическим характеристикам материалов.

n – действительный коэффициент запаса прочности;

[n] – нормативный коэффициент запаса прочности.

Для пластичных материалов

Для хрупких материалов

Нормативный коэффициент запаса прочности определяется как произведение частных коэффициентов запаса прочности

[n]=[n1]*[n2]*…*[nk]

Частные коэффициенты запаса прочности учитывают неоднородность материала, точность расчетной схемы, степень ответственности детали и условия ее работы.

Для нормальной работы деталей машин, различных конструкций и приборов необходимо учитывать условия прочности, жесткости и устойчивости.

В данных условиях можно решать три типа задач на сопротивление материалов:

1)проверочная – когда сравниваются рабочие и допускаемые напряжения и перемещения, которые соответствуют условиям прочности и жесткости ;

2)проектная – в задаче определяются размеры конструкции;

3)Задача по определению несущей способности.

8: Расчеты на прочность и жесткость статически определимых и стат. Неопределимых систем при растяжении и сжатии.

Основой для решения статически определенных задач являются:

Метод сечений, уравнения равновесия, условия

прочности жесткости.

Дано:

Е=2*10⁵МПа

l_AB=l_ВС=l_CD=1м

Р=100кН

А₁=0,5*10³мм²

А₂=2А₁

[ ]=150 Н/мм²

Найти:N_i, _i, _i.

Определение внутренних сил:

Определение внутренних напряжений:

Условие прочности не выполняются, т.к. на участке ВС рабочее напряжение больше допускаемого.

Определение перемещений:

Особенности построения эпюр

1Скачки значений на эпюре внутренних сил определяются (или равны) внешними силами, приложенными в этой точке.

2Скачки эпюр на эпюре напряжений определяются изменением, как внешних сил, так и изменением размеров сечений.

3Эпюры напряжений, в данном случае, являются производной от эпюр перемещений.

Решение статически неопределимых задач

Если число неизвестных реакций связи оказывается больше числа уравнений равновесия, то такая система является статически неопределимой.

Разница между числом неизвестных реакций и числом уравнений равновесия определяет степень статической неопределенности системы.

При решении статически неопределимых задач составляются недостающие уравнения, которые учитывают совместные перемещения в данной системе.

С учетом известных перемещений предлагаются физические зависимости, например, в виде закона Гука, или в виде линейных температурных деформаций, для раскрытия сущности указанных совместных перемещений и, в дальнейшем, эти полученные уравнения решаются совместно.

Этапы раскрытия статической неопределенности (рассмотрим на примере решения задачи данные по размерам и нагрузкам смотри на предыдущей странице):

Статика – составление уравнений равновесия;

(Данная задача один раз статически неопределима)

Геометрия – составление уравнений совместных перемещений;

(∆ может равняться 0; если ∆≥1,5, то задача статически определимая).

Физика – определение физических соотношений между перемещениями и внутренними силами;

Синтез – совместное решение полученных уравнений.

В уравнение п.2 подставим выражения для ∆l_i по закону Гука.

Определение внутренних сил:

Определение внутренних напряжений:

Несмотря на то, что на участке СВ значение напряжений уменьшилось и составило 160МПа, условие прочности все равно не выполняется.

Определение совместных перемещений:

Обобщение:

1В статически неопределимых системах происходит перераспределение внутренних сил, напряжений и перемещений, по сравнению с аналогичными статически определимыми системами.

2Реакции связи а, следовательно, и внутренние силы, в статически неопределимых системах зависят от продольных и поперечных размеров, свойств материала и действия внешних сил.

В статически определенных системах внутренние силы зависят только от внешних сил.

3Меняя жесткость системы подстановкой дополнительных связей, можно добиться рационального распределения внутренних сил при той же величине внешних нагрузок, в связи с этим так же меняются значения напряжений и перемещений.