- •4. Замена переменной или способ подстановки,
- •7. Понятие функции нескольких переменных.
- •9. Сложн ф-я неск-х переем и ее частн произв-ные
- •8. Частные производные.
- •12. Экстремум функции нескольких переменных.
- •14. Вычисление 2го инт.
- •23. Лду 1 пор, ур бернулли
- •24. Оду первого порядка в полных дифференциалах
- •20. Дифф ур. Осн понятия.
- •26.Лду высш пор-в.Лин зав-сть и н/зав решений
- •30. Числовые ряды. Основные понятия.
- •33. Теор Признак Даламбера
- •35. Знакочеред ряды. Т лейбница.
- •Теор Признак Лейбница
- •34. Коши радик сход-сти ряда. Если для числового ряда
- •36. Знакоепрем ряды. Усл и абс сх-сть.
- •37. Функц ряд, обл сх-сти.
- •46. Градиент поля и его св-ва.
- •41. Р фурье. Разл с пер 2п.
- •43. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.
41. Р фурье. Разл с пер 2п.
( 1 ) где ω, a0, a1, …, an, …, b0, b1, …,bn, …- пост числа (ω>0) . Пусть период функция ƒ(х) с пер 2π т, что она представляется тригон-ским рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда: ƒ(x)= . (2) Проинтегрируем обе части равенства (2):
. Вычислим отдельно каждый инт, встреч-ся в правой части: , , .
Т.о, , откуда . (4)
42. Ряд Фурье для функции с периодом 2l. Пусть функция ƒ(x) есть периодическая функция с периодом 2 l, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле х = lt / π. Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от t с периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке –π ≤ x ≤ π: ; Возвратимся к старой переменной x: Тогда будем иметь: (24)
Формула (23) получит вид , (25)
где коэффициенты a0, ak, bk вычпо формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.
43. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.
Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то
. Действительно,
так как по опр четной функции ψ(- x) = ψ(x). Аналогично м док, что если ψ(x) – нече функция, то
Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; след-но,
(21) т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы». Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то:
(22) т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».
45. Производная по направлению. Рассм ф-ю u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x, y + y, z + z). Пров через т М и М1 вектор . Углы наклона этого в-ра к напр-нию корд-х осей х, у, z обозначим соотв-нно , , . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора . Расст м-ду точками М и М1 на векторе обозначим S.
z
М
М1
у
х Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда
, где величины 1, 2, 3 – бесконечно малые при . Из геоме-х соображений очевидно:
Т.о, приведенные выше рав-ва мб представлены след образом:
; Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора . Из этого уравнения следует следующее определение: Опр: Предел наз-ся производной функции u(x, y, z) по напр-ю в-ра в т с к-натами ( x, y, z).
П РОИЗВОДНАЯ