![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •4. Замена переменной или способ подстановки,
- •7. Понятие функции нескольких переменных.
- •9. Сложн ф-я неск-х переем и ее частн произв-ные
- •8. Частные производные.
- •12. Экстремум функции нескольких переменных.
- •14. Вычисление 2го инт.
- •23. Лду 1 пор, ур бернулли
- •24. Оду первого порядка в полных дифференциалах
- •20. Дифф ур. Осн понятия.
- •26.Лду высш пор-в.Лин зав-сть и н/зав решений
- •30. Числовые ряды. Основные понятия.
- •33. Теор Признак Даламбера
- •35. Знакочеред ряды. Т лейбница.
- •Теор Признак Лейбница
- •34. Коши радик сход-сти ряда. Если для числового ряда
- •36. Знакоепрем ряды. Усл и абс сх-сть.
- •37. Функц ряд, обл сх-сти.
- •46. Градиент поля и его св-ва.
- •41. Р фурье. Разл с пер 2п.
- •43. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.
Теор Признак Лейбница
Если у зн.ч. ряда n-й член стремится к 0 монотонно убывая, то ряд сх-ся, сумма ряда им. знак 1го члена ряда и не превосх. его по модулю.
Пусть у зн.ч. ряда a1+a2-…-an+… lim |an|=0, |a1||a2||a3||an|=cn тогда ряд запис. в виде с1-с2+с3-… (1), если a10 и –с1+с2-с3+… (2) если а10.
а10. Для частич. сумм с чёт. номерами n=2k имеем S2k=c1-c2+c3-c4+…+c2k-1-c2k=
{(c1-c2)+(c3-c4)+…+ c2k-1-c2k (3)
{c1-(c2-c3)-(c4-c5)-…-c2k (4). Т.к. с1с2…, то все скобки 0, поэтому (3) S2k0, посл. {S2k} возрастает: S2k+2 = S2k+ (c2k+1-c2k+2) S2k. (4) S2kc1. Т.о. {S2k} возрастает и ограничена сверху она имеет конеч. lim S, причём 0 S2kс10 Sс1.
34. Коши радик сход-сти ряда. Если для числового ряда
с
неотрицательными членами существует
т число d,
0 < d
< 1, что, начиная
с некоторого номера, вып нера-во
,
то данный ряд сходится. Если для ряда
,
то если
ряд
сходится, если l
> 1 ряд расходится. Док-во. 1. Пусть l
< 1. существует такое
,
что
.
Поскольку сущ предел
,
то подставив в определение предела
выбранное
получим:
Раскрыв
модуль, получаем:
;
;
Поскольку
,
то ряд
сходится.
Следовательно, по признаку
сравнения
ряд
тоже
сходится. 2. Пусть l
> 1. Очевидно, что существует такое
,
что
.
Поскольку существует предел
,
то подставив в определение предела
выбранное
получим:
Раскрыв модуль, получаем:
;
Поскольку
,
то ряд
расх.
След-но, по признаку
сравнения
ряд
тоже
расходится.
36. Знакоепрем ряды. Усл и абс сх-сть.
Теор Об абсолютной сходимости.
Если
сходится
|an|,
то сх-ся и сам
an.
Опр:
Если ряд
|an|
сх-ся, то говорят, что ряд
an
абс. сх-ся. Если сам ряд
an
сх-ся, а ряд
|an|
расх., то говорят, что
an
сх-ся неабсолютно(условно).
37. Функц ряд, обл сх-сти.
Опр.
Функ-й ряд
наз
сходящимся
в т (х=х0),
если в этой точке сх посл-сть его частных
сумм. Предел посл-сти
называется суммой
ряда
в точке х0.
Опр.
Сов-сть всех значений х, для которых
сходится ряд
наз-ся
обл-ю схо-ти
ряда.
Опр. Ряд -равном сход-ся на отр [a,b], если равномерно сх на этом отрезке посл-сть частных сумм этого ряда.
38. Степ ряды, т Абеля Степенным рядом называется ряд вида
.
Для иссл-я на сх-сть степрядов удобно
исп признак Даламбера. Теор.
Если степенной ряд
сходится при x
= x1
, то он сх и притом абс-но для всех
.
Док-во.
По условию теоремы, так как члены ряда
ограничены, то
где k-
некот пост число. Справедливо следующее
неравенство:
Из
этого нер-ва видно, что при x<x1
числ величины членов нашего ряда будут
меньше соотв членов ряда правой части
записанного выше неравенства, которые
образуют геом прогр. Знам-ль этой прогр
по усл теоремы <1, след-но, эта прогрессия
предст собой сход ряд. Поэтому на осн
признака сравнения делаем вывод, что
ряд
сходится, а значит ряд
сх абс. Т.о, если степенной ряд
сходится
в т. х1,
то он абсолютно сх в любой точке интервала
длины 2
с центром в точке х = 0.
Сл-вие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расх для всех .
46. Градиент поля и его св-ва.
Опр:
Если в некото обл D
задана ф-ция u
= u(x,
y,
z)
и некот в-р, проекции которого на корд-ные
оси равны знач-м ф-ции u
в соотв-щей т
,
то этот в-р наз-ся град-м
функции u.
При этом говорят, что в области D
задано поле градиентов. Связь
градиента с производной по направлению.
Теор:
Пусть задана функция u
= u(x,
y,
z)
и поле градиентов
.
Тогда производная
по напр-ю некот вектора
равняется проекции вектора gradu
на вектор
.
Гр-нт – вектор, показ-й направление наискорейшего изменения некот скал-го поля u в к- л точке, направление вектора grad f указывает направление возрастания ф-ции.
СВОЙСТВА ГРАДИЕНТА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1) grad ┴ линии уровня; 2) grad направлен в сторону возрастания ф-ции; 3) длина grad равна макс. Величине производной по направлению д-й точки, др.словами, производная по направлению принимает макс. Значение в том направлении, куда «смотрит» grad.
44.Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя опр-е этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы можем разложить эту ф-ю в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение данной функции так, чтобы при - l ≤ х < 0 было ƒ(x) = ƒ(-x). В рез-те получится четн ф-я. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам. Если мы продолжим опр-е функции ƒ(x) при - l ≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам.
39.
Т.о, для каждого степ ряда существует
такое положит число R,
что при всех х таких, что
ряд абсолютно сходится, а при всех
ряд расх. При этом число R
называется радиусом
сходимости.
Интервал (-R,
R)
называется интервалом
сх-сти. этот
интервал мб как замкнутым с одной или
двух сторон, так и не замкн. Радиус
сходимости может быть найден по формуле:
Если
(2) сход в единственной точке х=0, то
полагают R=0
(в точке х=0 ряд (2) сх абс-но. Замеч1.
Для степ ряда (1) интервалом сход-ти
явл-ся ]a-R,a+R[.
Если
для
Сnn
]-R,R[
-R<
<R, т.е.
-R<x-a<R
a-R< x <a+R Замеч2.
На концах
интервала х=R
ряд (2) может сходится (абсолютно или не
абс) и расх, поэтому обл сход-ти степ
ряда с точностью до граничных точек
совп с интервалом сходимоси
чтобы найти область сход-ти степенного
ряда достаточно найти интервал сход-ти,
а сход-ть в граничных точках х=R
исследовать непосредственной подстановкой
этих точек в ряд (2). Что же касается
интервала сход-ти ряда (2)- он совп с
интервалом сход-ти ряда из модулей
Cnxn,
т.к. внутри интервала сх-ти ряд (2) сходится
абсолютно, т.е. сходится ряд
Cnxn,
а вне интервала сход-ти ряд (2) расходится
и тем более расходится ряд из модулей.
Т.о дело сводится к нахожд инт-ла сход-ти
положит-го ряда из модулей, а к этому
положительному ряду можно применять
признаки сход-ти положительных рядов.