Поверхностный интеграл первого рода [править]Определение

Пусть   — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на   задана функция  . Рассмотрим разбиение   этой поверхности на части   кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку  . Вычислив значение функции в этой точке   и, приняв за   — площадь поверхности   рассмотрим сумму  .

Тогда число   называется пределом сумм  , если:

Предел   сумм   при   называется поверхностным интегралом первого рода от функции   по поверхности   и обозначается следующим образом:

[Править]Параметрическая форма

Пусть на поверхности   можно ввести единую параметризацию посредством функций

заданных в ограниченной замкнутой области   плоскости   и принадлежащих классу   в этой области. Если функция   непрерывна на поверхности  , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности   существует и может быть вычислен по формуле:

, где:

[Править]Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности.

1. Линейность:  ;

2. Аддитивность:  ;

3. Монотонность:

   • если  , то 

   • для   если  , то 

4. Теорема о среднем для непрерывной функции   и замкнутой ограниченной поверхности  :

.

[Править]Поверхностный интеграл второго рода [править]Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность  , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением   причем точка   изменяется в области   на плоскости  , ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности   определена некоторая функция  . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части   и выбрав на каждой такой части точку   вычисляем значение функции   в данной точке и умножим его на площадь  проекции на плоскость   элемента  , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

,

распространенным на выбранную сторону поверхности  , и обозначают символом

(здесь  ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость 

Если вместо плоскости   спроектировать элементы поверхности на плоскость   или  , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

 или  .

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где   суть функции от  , определенные в точках поверхности  .

[Править]Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

, где   — единичный вектор нормали поверхности  ,   — орт.

[Править]Свойства

1. Линейность:  ;

2. Аддитивность:  ;

3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

20 Вычисление поверхностного интеграла

Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Пусть поверхность   взаимно однозначно проецируется в область   на плоскости Оху. В этом случае    имеет одинаковый знак во всех точках поверхности. Именно,  , если рассматривается верхняя сторона поверхности, и  , если рассматривается нижняя сторона. Поэтому для верхней стороны все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "+", и сумма будет иметь вид  . Если поверхность задана уравнением  ,  , то эта сумма равна  . В последней сумме легко увидеть интегральную сумму для двойного интеграла  . Переход к пределу при   (при этом и  ) даст

. Напомню, что эта формула получена для верхней стороны поверхности. Если выбрана нижняя сторона, то все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "-", и интегральная сумма будет иметь вид  . Рассуждая, как и для верхней стороны, получим, что в этом случае  . Окончательно,  , где знак "+" берётся для верхней стороны поверхности, знак "-" - для нижней стороны.

Аналогично изложенному, для других интегралов:  , если поверхность однозначно проецируется в область   на плоскости Oyz, при этом знак "+" берётся для "передней" стороны поверхности (где  ), для "задней" стороны, где  , берётся знак "-";  , если поверхность однозначно проецируется в область   на плоскость Oхz, знак "+" берётся для "правой" стороны поверхности (где  ), для "левой" стороны, где  , берётся знак "-". Как и для поверхностного интеграла первого рода, если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

  Примеры. 1. Вычислить  ,  - часть поверхности цилиндра y =  , заключенная между плоскостями x=0, x=8, z=0, z=3. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oх.

 Решение: Определяем знаки направляющих косинусов нормали cos>0, cos<0, cos=0. Поэтому

  , где

Dyz={(y,z): 0 y 16, 0  z  3}, Dxz={(x,z): 0  x  8, 0  z  3} - проекции  на плоскости Oyz и Oxz соответственно. Проекция поверхности на плоскость Oxy вырождается в линию - параболу y= , cos=0, поэтому интеграл по Dxy в данном случае отсутствует. Вычислим отдельно интегралы по Dyz и Dxz , выражая x(y,z) и y(x,z) из уравнения поверхности : x(y,z)=2 , y(x,z)= .

= = dy=328, = = dx=928. Окончательно I = 328 - 928 = - 600.

 2. Вычислить  , где  - часть плоскости  , ограниченная координатными плоскостями x=0, у=0, z=0. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oz.

 Решение. Из двух направлений нормали к   мы должны выбрать такое, для которого коэффициент при орте   (т.е.  ) положителен, поэтому выбираем знак "-", тогда  . В соответствии со знаками направляющих косинусов,     . Вычисляем эти интегралы. 

.

.

  . Окончательно, 

 В заключение напомню, что вычисление поверхностного интеграла второго рода всегда можно свести к вычислению поверхностного интеграла первого рода. Так, в последнем примере подынтегральное выражение равно  , где  ,  . Поэтому  , и, проектируя  на плоскость Оху  , получим 

.

24 Однородные уравнения первого порядка.

Определение однородного дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y: Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде или через дифференциалы: где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка. Определение однородной функции Функция P(x,y) называется однородной функцией порядка n, если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение: Решение однородных дифференциальных уравнений Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.  Дифференциальное уравнение вида преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  . Решение. Нетрудно заметить, что многочлены P(x,y) и Q(x,y), соответственно, при dx и dy, являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным.  Положим y = ux, где u − некоторая новая функция, зависящая от x. Тогда        Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем        Следовательно,        Разделим обе части уравнения на x:        Выполняя деление x, мы могли потерять решение x = 0. Прямая подстановка показывает, что x = 0действительно является одним из решений нашего уравнения.  Интегрируем последнее выражение:        где C − постоянная интегрирования.  Возвращаясь к старой переменной y, можно записать:        Таким образом, уравнение имеет два решения:

26 Некоторые уравнения, допускающие понижение порядка