16.1.7. Приложения двойного интеграла.

16.1.7.1. Вычисление площадей плоских областей. В соответствии с свойством 16.1.3.3. Интеграл от единичной функции . Пример: найти площадь области , лежащей внутри кривых .

Решение. Построить эти кривые можно только в полярных координатах; первое уравнение приводится к виду , это - лемниската Бернулли; второе - к виду , это - кардиоида. Решая уравнение , находим, что точка их пересечения лежит на луче . D состоит из двух лунок одинаковой площади; вычислим площадь верхней. При эта лунка ограничена кардиоидой; при  - лемнискатой, поэтому  

 

 ё

16.1.7.2. Вычисление объёмов. Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями , , , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , равен ; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

Примеры. 1. Найти объём тела

Решение. Тело изображено на рисунке справа. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось Oxz:  Область D - треугольник, ограниченный прямыми , поэтому  

.

2. Найти объём области, ограниченной поверхностями  .

Решение. Первая поверхность - сфера, вторая - цилиндрическая - с образующими, параллельными оси Oz (в уравнении нет z в явной форме). Построить в плоскости Oxy кривую шестого порядка, заданную уравнением , в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей (чётные степени) и точкаО(0,0) принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам.

8. Двукратный интеграл и его свойства

   1. Двукратный (повторный) интеграл. Пусть - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от до получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:

.

Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:

Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь области: ;

теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться - это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область разбита на две подобласти и прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области равен сумме интегралов по и : .

Первый случай: прямая параллельна оси Oy. Тогда (аддитивность внешнего интеграла) .

Второй случай: прямая параллельна оси Oх. Воспользуемся сначала аддитивностью внешнего интеграла:

(теперь применим свойство аддитивности для внутреннего интеграла в среднем слагаемом) = (применяем свойство линейности для внешнего интеграла в среднем слагаемом и перегруппировываем сумму)=

(первая фигурная скобка даёт повторный интеграл по , второй - по ) .

Понятно, что воэможны различные случаи взаимного расположения прямых , , и функций , , но логика доказательства во всех случаях такая же.

Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область на две подобласти и . Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает на и; - на и . По доказанному, , , поэтому . Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти , то .