Тройной интеграл. Его основные свойства и приложения. Вычисление тройного интеграла
Рассмотрим
кубируемую область в трехмерном
пространстве 
.
Разбиение 
на
части 
осуществляется
непрерывными поверхностями. Диаметр
разбиения определяется аналогично
двумерному случаю. Также, по аналогии,
можно определить для функции 
,
разбиения
области 
и
выбранных точек 
интегральную
сумму 
,
где 
обозначает
объем области
.
Определение.
Пусть 
такое
число, что 
.
Тогда мы говорим, что 
интегрируема
на
,
число 
есть
интеграл
по
области
и
обозначаем это так: 
.
Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .
Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.
Теорема.
Пусть
задана
следующими неравенствами: 
, 
. 
-
квадрируемая область на плоскости, 
-
непрерывные. Тогда 
Замечание.
Если область
задана
неравенствами 
,
где 
-
непрерывные функции, то 
Сформулируем общую теорему о замене переменных.
Теорема.
Пусть отображение 
устанавливает
взаимно однозначное соответствие между
областями 
и
,
причем функции 
-
непрерывно дифференцируемые и 
ни
в одной точке 
.
Пусть
-
непрерывная на
функция.
Тогда 
Как и для двойного интеграла, теорема остается верна в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.
13 Трехкратный интеграл и его свойства (есть)
14 Криволинейный интеграл
Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление.
Рассмотрим
на плоскости или в пространстве кривую
L и функцию f, определенную в каждой точке
этой кривой. Разобьем кривую на части
Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из
частей точку Mi. Составим интегральную
сумму 
.
Назовем λ длину наибольшего отрезка
кривой.
Определение 10.1. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается
.
(10.1)
Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (10.1) равен массе рассматриваемой кривой.
Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл
существует.Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то
(10.2)
Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.
Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.
Выберем
на кривой L направление от начальной
точки А и отметим, что положение точки
М на кривой определяется длиной дуги
АМ = s. Тогда кривую L можно задать
параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s),
где 
Функция
f(x,y,z) становится при этом сложной функцией
одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда
интегральная сумма
,
где 
-
координата точки Mi, является обычной
интегральной суммой для определен-ного
интеграла 
Следовательно,
= (10.3)
Если же кривая L задана в параметрической форме:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,
то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги
получим:
(10.4)
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.
Пример.
Вычислить 
где
L: 
Применяя
формулу (10.4), получим:
Криволинейный интеграл второго рода.
Вновь
рассмотрим кривую L, в каждой точке
которой задана функция f(M), и зададим
разбиение кривой на отрезки. Выберем
на каждом отрезке точку Mi и умножим
значе-ние функции в этой точке не на
длину i-го отрезка, как в случае
криволинейного инте-грала 1-го рода, а
на проекцию этого отрезка, скажем, на
ось Ох, то есть на разность xi
– xi-1 = Δxi. Составим из полученных
произведений интегральную сумму 
.
Определение
10.2. Если существует конечный предел
при 
интегральной
суммы
,
не зависящий от способа разбиения кривой
на отрезки и выбора точек Mi, то от
называется криволинейным интегралом
второго рода от функции f(M) по кривой L
и обозначается
.
(10.5)
Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида
Определение 10.3. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),
Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы
,
то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают
.
(10.6)
Замечание.
Если считать, что сила 
действует
на точку, движущуюся по кривой (АВ), то
работа этой силы может быть представлена
как
,
то есть криволинейным интегралом 2-го рода.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).
При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:
(10.7)
Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.
Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.
Теорема 10.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство
.
(10.8)
Доказательство.
Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:
.
Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:
,
что и требовалось доказать.
Следствие.
Аналогичные соотношения можно получить
для криволинейных интегра-лов вида 
,
откуда следует, что
(10.9)
Пример.
Вычислим
интеграл 
,
где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2)
до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой
прямой в параметрическом виде:
Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда
15 Вычисление криволинейного интеграла.
Пусть гладкая дуга AB задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t), где α ≤ t ≤ β Кроме того, на этой дуге определены и непрерывны функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z),тогда криволинейные интегралы могут быть вычислены следующим образом: а) криволинейный интеграл 1-го рода:
б) криволинейный интеграл 2-го рода:
Пример 3.1. Найти массу четверти окружности x2+y2=R2, х≥0, у≥0, если плотность в каждой точке окружности равна ординате этой точки.
Решение
Пример 3.2. Вычислить
если дуга АВ - первый виток винтовой линии x=cost, y=sint, z=t.
Решение
Очевидно: 0≤t
≤2π (рис.
3.3). Имеем:
Пример 3.3. Вычислить
если АВ - часть логарифмической кривой y=lnx при 1≤x≤2
Решение
Примем
за параметр переменную х.
Тогда параметрические уравнения данной
кривой имеют вид
Пример 3.4. Вычислить работу силы
при перемещении единичной массы из положения A(2,0) в положение В(-1,3) (рис. 3.5): a) вдоль прямой АВ; б) вдоль ломаной ACB, где С(–1,0).
Решение
а
)
вычисляем работу А1 вдоль
прямой АВ:
= (уравнение прямой АВ есть y=-х+2, у'=-1, в качестве параметра выбираем х)=
б)
вычисляем работу А2)
вдоль линий АСВ)
- уравнениеАС:
у=0) 
dy=0;
СВ: х=-1 )
dх=0)
В данном случае: A1≠A2 и, следовательно, величина работы зависит от формы пути.
Пример 3.5. Вычислить
вдоль отрезка АВ, соединяющего точки А(1,2,-1) и В(3,3,2)).
Решение
Уравнение прямой АВ:
Параметрические уравнения этой линии: x=2t+1, y=t+2, z=3t-1, (0≤t≤1). Следовательно
Возможен другой способ: если принять за параметр какую-либо из координат, скажем, у, то параметрические уравнения прямой примут вид: x=2y-3, y=y, z=3y-7,
и, следовательно,
17 Формула Грина
Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция
с
непрерывными частными производными
первого порядка
где
символ
где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией
Ротором или вихрем векторного
поля
Формула Грина в векторной форме записывается в виде
Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат. |
Пример 1 |
|
Используя
формулу Грина, вычислить интеграл Решение. Запишем компоненты векторного поля: С помощью формулы Грина преобразуем криволинейный интеграл в двойной: Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл: |
.
Тогда справедлива формула
Грина
указывает,
что кривая (контур) C является
замкнутой, и обход при интегрировании
вдоль этой кривой производится против
часовой стрелки.
Если 
,
то формула Грина принимает вид
называется
вектор, обозначаемый 
или 
и
равный
,
где кривая C −
окружность радиуса R.
18 Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Как мы видели, вычисление криволинейного интеграла
непосредственно зависит от самой линии L, отсюда и величина его зависит от вида кривой.
Поставим задачу: выяснить условия, при которых бы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования, а только от его начальной и конечной точек. Так, с точки зрения механики независимость линейного интеграла от линии интегрирования будет обозначать, что величина работы в силовом поле
не зависит от формы пути, а только от его начальной и конечной точек.
Лемма. Для того, чтобы криволинейный интеграл
в некоторой области D плоскости хоу не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, был равен нулю.
Доказательство
· Достаточность. Пусть интеграл
,
где L - любой замкнутый контур, принадлежащий области D.
Покажем, что этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Действительно, пусть А и В - две точки области D. Соединим их двумя различными, произвольно выбранными кривыми АтВ и АпВ, лежащими в области D (рис. 8). Покажем, что
.
Рис.
8
Дуги АтВ и АпВ образуют замкнутый контур АтВnA. По свойствам (3 и 1) криволинейных интегралов
.
Следовательно,
,
или
,
т. е. криволинейный интеграл не зависит о пути интегрирования.
· Необходимость. Пусть в области D криволинейный интеграл
не зависит от пути интегрирования. Покажем, что интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю.
Действительно, рассмотрим произвольный замкнутый контур, лежащий в области D, и возьмём на нём две произвольные точки А и В (рис. 7.). Тогда
,
т.к. по условию
.
Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю. Лемма доказана.
Докажем теперь основную теорему.
Теорема 3. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области D, ограниченной одним замкнутым контуром. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл
(15)
не зависел от линии интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось равенство
(16)
Доказательство
· Достаточность. Пусть равенство (16) выполняется в области D. Докажем, что криволинейный интеграл (15) по любому замкнутому контуру L, лежащему в областиD, равен нулю. Возьмём произвольный замкнутый контур L*, ограничивающий область D*, целиком лежащей внутри области D, и применим к нему формулу Грина
Так как по условию , то двойной интеграл равен рулю. Следовательно, равен нулю и криволинейный интеграл по контуру L*, что и требовалось доказать.
· Необходимость. Пусть интеграл
не зависит от пути интегрирования. Надо доказать, что выполняется равенство (16), что, в свою очередь, вызывает равенство нулю двойного интеграла (по теореме Грина)
(17)
Воспользуемся методом доказательства “от противного”. Предположим, что равенства (16) и (17) не выполняются, т.е. в области D, ограниченной контуром L, нашлась какая-то точка М, в которой
(18)
Рис.
9
Пусть для определённости эта разность положительна. Тогда, в силу непрерывности частных производных, эта разность знакопостоянна в некоторой окрестности точки М и сохраняет тот же знак, что и в самой точке. Обозначим эту окрестность D*, а ограничивающий её контур есть L* (см рис. 9). Составим двойной интеграл по области D* от разности (18). По свойству (cм. гл. 12) интеграл сохранит знак подынтегральной функции
По формуле Грина тогда и линейный интеграл (15) будет иметь этот же знак:
Но это обозначает, что криволинейный интеграл по замкнутому контуру отличен от нуля, т.е. зависит от пути интегрирования, что противоречит исходному условию. Отсюда следует, что наше предположение неверно. Теорема доказана.
Заметим, что дифференциальное выражение
P(x, y)dx+Q(x, y)dy (19)
напоминает форму полного дифференциала первого порядка функции двух переменных u(x, y)
.
Выясним условия, при которых возможно совпадение этих формул, т.е. выполнение равенства
Теорема
4 (о нахождении функции по полному
дифференциалу). Если
функции P(x,
y), Q(x,
y) определены
и непрерывны в области D плоскости хоу
и имеют в ней непрерывные частные
производные 
,
то выражение Pdx + Qdy
является полным
дифференциалом некоторой функции u(х, у) тогда и только тогда, когда выполняется условие
Доказательство
· Необходимость. Пусть Pdx + Qdy = du(x, y). Тогда справедливо соответствие
и 
.
Продифференцируем каждое из этих равенств:
.
По свойству смешанных производных правые части последних соотношений равны и, в силу их непрерывности (по условию теоремы), в любой точке области Dвыполняется равенство
.
Необходимость доказана.
· Достаточность. Пусть в области D выполняется тождественное равенство
.
Но тогда по теореме 1 линейный интеграл (15) не зависит от пути интегрирования. Установим правило нахождения первообразной функции u(х, у) по её полному дифференциалу, тем самым доказав её существование.
Выберем в области D какую-то фиксированную точку А(х0, у0) и переменную точку М(х, у). Линейный интеграл (15) будет функцией верхнего предела
Пусть точка М переместилась (см. рис. 10) в положение M1(x+
x,y).
Тогда функция Ф(х,
у)
получит частное приращение по переменной х
(20)
Поскольку переменная у не получила приращения на отрезке ММ1 ( у = 0, у = const), то подынтегральное выражение в последнем интеграле зависит от одной переменной х, а интеграл (20) является определённым.
Рис.
10
Применим к нему теорему о среднем:
где 
.
Разделив на х, получаем
или,
переходя к пределу при
х 
0,
в силу непрерывности функции Р(х,
у),
имеем
Пусть теперь точка М движется параллельно оси оу, т. е. функция Ф(х, у) получает приращение по переменной у, при этом х = 0:
где М2(х, у + у).
Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, приходим к заключению, что
Сложив результаты, получаем формулу полного дифференциала некоторой функции Ф(х, у)
Интегрируя, находим одну из первообразных линейного интеграла
Сформулируем правило отыскания функции. Поскольку подынтегральное выражение - полный дифференциал некоторой функции, линейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Выберем самый удобный путь, соединяющий точки А(х0, у0) и М(х, у), например, ломаную АВМ с отрезками, параллельными осям (см. рис. 11). Исследуем эти отрезки:
Рис.11
Переходим к вычислению интеграла
(21)
Теорема доказана. Мы получили метод отыскания функции по её полному дифференциалу, доказав таким образом факт существования такой функции.
Последнюю формулу чаще записывают в виде
(22)
Получим ещё один результат, проанализировав формулу (21), каждое слагаемое которой является определённым интегралом с переменным верхним пределом, подынтегральное выражение каждого из них зависит от переменной t. Применим к
ним формулу Ньютона-Лейбница, учитывая, что подынтегральное выражение криволинейного интеграла в левой части равенства есть полный дифференциал некоторой функции, т. е.
Откуда следует, что
Тогда
Следовательно,
или
Последнее равенство является формулой Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла, подтверждающей вывод: интеграл от полного дифференциала не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек интегрирования.
Поверхностный интеграл.