11. Отношения логического следования и равносильности

между предикатами. Необходимые и достаточные условия.

Предикаты могут быть в отношении логического следования

Логическое следование

Предикат В(х) следует из предиката А(х), если B(x) обращается в истинное выск-ие при всех тех значениях x, при которых A(x) истинна.

Соединяя два предиката А(х) и В(х) знаком =>, мы получаем выск-ие А(х) => В(х), прочитать кот-ое можно по разному.

1) Из А(х) следует В(х)

2) Всякое А(х) есть В(х)

3) Если А(х), то В(х)

4) В(х) есть следствие А(х)

5) А(х) есть достаточное условие для В(х)

6) В(х) есть необходимое условие для А(х).

А (х) => В(х) T_B

Т_A

Равносильность

Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предл. А(х) следует предл. В(х), а из предл. В(х) следует предл. А(х).

Соединяя два предиката А(х) и В(х) знаком =>, мы получаем выск-ие А(х) => В(х), прочитать кот-ое можно по разному.

1) А(х) равносильно В(х)

2) А(х) тогда и только тогда, когда В(х)

3) А(х) – необходимое и достаточное условие для В(х)

4) В(х) – необходимое и достаточное условие для В(х).

А

Та=Тв

(х) <=> В(х)

Пример:

Всякий квадрат явл прямоугольником (А(х)-фигура-квадрат, В(х)-фигура прямоугольник)

А(х) – достаточное условие; В(х) – необходимое условие. А(х) => В(х).

1.Из того, что фигура явл квадратом, следует, что она явл прямоуг

2. Если фигура квадрат, то она прямоугольник.

2. Чтобы фигура была квадр, необходимо, чтоб она была прямоугол

Предикаты равносильны если из А(х) следует В(х) и наоборот. (необх и достат) А(х,у)–х больше у,В(х,у)–х–у больше 0;А(х) (=) В(х)

Необходимые и достаточные условия

Если предикаты находятся в отношении логического следования, то один из них является необходимым условием для другого, а другой достаточным условием для первого

А(х) = >В(х)

Для того чтобы было А необходимо чтобы было В

Для того чтобы было В необходимо чтобы было А

Пример:

Если углы вертикальны, то они равны

Для того чтобы углы были вертикальны необходимо чтобы они были равны

Для того чтобы углы были равны достаточно чтобы они были вертикальными

Если предикаты А(х) < = >В(х) то каждый из них является и необходимым и достаточным

12. Неполная индукция. Простейшие схемы дедуктивных

умозаключений.

Умозаключением называется логическая операция, в результате которой из одного или нескольких предложений получаются новые предложения, содержащие новое знание.

В школьном курсе математики различают 2 вида умозаключений:

1. неполная математическая индукция

2. дедуктивное умозаключение

В начальном курсе математики при изучении различных свойств и законов используется метод неполной математической индукции, который заключается в том, что на основании того, что некоторые объекты класса обладают каким-либо свойством, делается вывод, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Данный метод не является строгим доказательством, так как может привести как к верным выводам, так и к неверным. Но в начальной школе мы используем этот метод в силу следующих причин:

1. возрастные особенности детей;

2. рассматриваются только те свойства, которые доказаны в математике;

3. такой метод позволяет детям увидеть закономерность, выдвинуть гипотезу и вместе с учителем сформулировать вывод (развитие мышления);

Дедуктивное умозаключение предполагает наличие посылки (то, что нам известно) и заключения.

Посылка бывает частная и общая.

Схемы дедуктивных умозаключений:

1. Схема заключения

А(х) => В(х), А(а)

В(а)

1. Если число чётное, то оно кратно 2.

2. Если четырёхугольник- ромб, то все его стороны равны.

2. Схема отрицания

___

А(х) => В(х), В(а)

___

А(а)

1. Если число не кратно 2, оно не чётное.

2. Стороны не равны, значит четырёхугольник не ромб.

3. Схема силлогизма

А(х) => В(х), В(х) => С(х)

А(х) = С (х)

Если сумма цифр кратна 3, то и число делится на 3.