5. Понятие разбиения множества на попарно-непересекающиеся подмножества или классы.

Множество разбито на попарно не пересекающиеся подмножества или классы, если выполняются следующие условия:

1)Никакие два подмножества не пересекаются

2)Объединение всех подмножеств равны данному множеству

Множество разбивается на классы путем задания определенных свойств, которыми могут обладать элементы и могут не обладать.

Разбиение при помощи одного свойства

Разбиение при помощи 1-го свойства

Свойство α(альфа)

Разбиение при помощи 2-х свойств

х

А В

4 α(альфа) и β(бета)

α–А

β–В

1) α,не β

2) β,не α

3) α,β

4) не α и не β

Разбиение при помощи 3-х свойств

х

2

8 B

1 4

5

A

7 6

3

A-α, B-β, C-γ

С

1) α,не β, не γ

2) β, не α, не γ

3. γ, не β, не α

4. α и γ, не в

5. β и α, не γ

6. α и β и γ

7. β и γ, не α

8. не α, не β, не γ

6. Декартово произведение множеств. Изображение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плоскости.

Декартовым произведением мн-в А и В называется мн-во упорядоч пар, первая компонента которых принадлежит мн-ву А, а вторая -В.

Операцию при помощи которой находят декартово произведение называют – декартовым умножением множеств.

Декартово произведение двух числовых множеств можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости.

Для дек.прозвед. переместительное свойство не выполняется

А ={1,2,3} В={4,5} АхВ= {(1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5)}

7. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Определение понятий. Структура определения понятия через род и видовое отличие.

Термин "понятие" обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания. Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений) - объем этого понятия - и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, - содержание этого понятия. Например, понятие "треугольник" соединяет в себе класс. всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие "уравнение" соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).

Понятие строится по следующей схеме:

объект  математический объект  математическое понятие

Математические объекты в реальном мире не существуют, они рождаются в сознании человека, созданы его умом. Они идеальны.

В математике мы работаем с моделями математических объектов.

Всякий мат. объект обладает свойствами, которые могут быть существенными и несущественными

Существенные свойства – это свойства, которыми обладает данный объект и без которых он не может существовать.

Напр.: «квадрат»

Сущ. свойства: 4 угла, 4 стороны, все стороны равны, все углы прямые, диагонали взаимно перпендикулярны и равны.

Несущественные свойства – свойства, которые могут быть присущи объекту и без которых он может существовать.

Напр.: размер стороны, цвет, расположение в пространстве.

Матем. объекты могут обладать такими свойствами, которыми ни один реальный объект не обладает.

Напр.: прямая бесконечна, у прямой нет толщины, точка не имеет размера.

Когда мы изучим все сущ. свойства объекта, мы получим матем. понятие. Всякое понятие обладает объемом и содержанием.

Объем понятия (V) – это множество всех объектов, называемых одним термином (бесконечное понятие)

Содержание понятий (S) – это множество всех сущ. свойств, присущих одному объекту.

Между объемом и содержанием устанавливается взаимосвязь:

С УВЕЛИЧЕНИЕМ СОДЕРЖАНИЯ ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ УМЕНЬШАЕТСЯ.

Н апр.:

1 2 3 4 5

S₁ – иметь прямые углы.

V₁ – {1, 3, 4, 5}

S₂: S1 + все стороны равны

V₂ {5}

S₂ > S₁, V₂ < V₁.

Понятиям дают определения.

Определение – это предложение, которое раскрывает суть данного понятия или термина.

Определения бывают явными и неявными

Неявное определение: контекстуальные и остенсивные.

Контекстуальные – суть данного понятия раскрывается через контекст, через анализ описываемой ситуации.

Остенсивные – определяются путем показа, демонстрации с последующим обсуждением сущ. свойств.

Явное определение – имеет форму равенства, определяемого и определяющего понятий.

определяемое понятие

родовое понятие

видовые отличия

= +

Определяемое и определяющее понятия должны находиться в отношении рода и вида.

a – родовое по отношению к понятию b, а понятие b – видовое по отношению к понятию a, если объем понятия b является подмножеством понятия a.

Va

Vb Vb Ϲ Va

Напр.: квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определяемое пон.: квадрат;

Родовое: прямоугольник;

Видовые различия: все стороны равны;

Определяющее: прямоугольник, у которого все стороны равны.

Требования к определениям:

1. Определение должно быть соразмерным (Vопределяемого = V определяющего)

Напр.: V₁=V₂

Вертикальными углами называются равные углы.

2. Не должно быть недостаточности.

Напр.: Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны.

3. Не должно быть избыточности

Напр.: Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все углы равны и равны 60^о

4. Не должно быть замкнутого круга.

Напр.: Касательная к окружности называется прямой, которая касается круга.