17) Дифференциальное уравнение нагревания и остывания эл. Аппаратов. Его решение.
Допустим, что проводник с током имеет одинаковую t по всему сечению (бесконечно большая теплопроводность материала) и длине (бесконечный длинный проводник), выделяемая в проводнике мощность определяется джоулевыми потерями, а теплоотвод с боковой поверхности описывается формулой Ньютона. Тогда уравнение баланса энергии имеет вид:
Po(1+λ0(Т-Т0)dt = CdT + КтSo(T-To)dT, где Po= I2*R ,I – ток,Ro- сопротивление провода при температуре То,T –t проводимость, То – t окр.среды, λ0 –t-ый коэфф. сопр. при То ;
С – общая теплоёмкость проводника, Кт – коэфф. теплоотдачи , So – поверхность охлаждения. При при независимых от t величинах С и Кт с введением обозначения для превышения t Q = T-To, получим уравнение. Po(1+ λQ) = КтSoQ + СdQ/dt ; Которое приводится к неоднородному диффер. уравнению: dQ/dt +(Q*Кт*So- λ0Po)/C = P/C (3)
Общее решение этого уравнения Q=Q1+Q2, где Q1 – общее решение однородного уравнения.
(1) dQ/dt + (Q Кт*So- λ0Po)/C = 0, где Q- частное решение неоднородного уравнения. Rt = C/(КтSo- λ0Po) – постоянная времени. Общее решение уравнения (1) Q1= Aexp(-t/ τt), частное решение Q2=> Q2 = Po/КтSo- λ0Po; Общее решение уравнения: Q(t) = Aexp(-t/ τt) + Po/КтSo- λ0Po (2); Постоянная интегрирования А определяется из начального условия, при t=0=>подставив (2) ; Решение уравнения (3)=> Q(t) = Q(o)exp(-t/ τt) + Po(1-exp(-t/ τt)/(КтSo- λ0Po)
Уравнение будет иметь физический смысл при t>0.
18) Постоянная времени нагрева электрического аппарата, её расчёт по экспериментальным данным.
τt =С /(Кт*So- λ0To) – постоянная времени. Расчёт по экспериментальным данным можно определить, если мы знаем кривую нагрева от начальной t до установки значения. Эта кривая достаточно близко описывается уравнениями.
Q(t)=Q(o)exp(-t/ τt) +Qy(1-exp(-t/ τt)), пусть t= τt, найдём, что за время, равное постоянной вращения τt, превышение t достигнет значения.
Q(τt) = Q(o)/e + Qy-Qy/e, при е≈3=> Q(τt)=Qy-[Qy-Q(o)]/3=Qy – [Ty-T(o)]/3.
За время, равное пост. времени, аппарат достигнет превышения t, которая меньше установившегося прерывания на ⅓ равности температур установившейся и начальной.
19) Нагрев аппарата в повт. Кратном режиме.
При повторно-кратковременном режиме, проходящий через аппарат ток, меняется увеличением, но не спадает t до 0 (не успевает остыть). Период включения tp – рабочий период. Время паузы – tп. Максимального t электрического аппарата меньше при повторно-кратковременном режиме, чем при продолжительном режиме.
Кр = (1-e -(tp+tп)/τt )/(1-e -tp/τt ) –коэффициент перегрузки по мощности. τt - постоянная времени нагрева и показывает во сколько раз можно увеличить мощность источников теплоты в электрическом аппарате при повторно-кратковременном режиме по сравнению с установившемся режимом.
20) Нагрев аппарата при к.З(адиабатический нагрев) Интеграл Джоуля и его ограничение.
В Эл. аппаратах токи К.З. могут в 10-ки раз превышать номинальные токи. С учётом этой длительности t проводников при К.З. значительно выше. Защитная аппаратура предусматривает отключение при К.З. до 4-5 сек. В этом случае электр. баланс проводника с массой и сопротивлением =>
I2Rdt= CμdQ; R = Kдоб* ρ0*L/q(1+drQ), C – теплоёмкость, М – масса, Кдоб – коэфф. добавочных потерь в проводнике, ρ0 - его удельное сопротивление.q и l – сечение и длина проводника. Зависимость удельной теплоёмкости от t:
С = Со(1+ВQ), Со – удель. теплоём. проводника,В – температурный коэфф.теплоёмкости.
М = j *L*q, j – плотность. I2 / q2 dt = Coj(1+ВQ)/Кдоб ρ0 (1+drQ)dQ=> интегрируем.
0∫tкI2 / q2 dt = Qном∫Qk Coj(1+ВQ)/Кдоб ρ0 (1+drQ)dQ, tк- длительность К.З., Iк –действительное значение тока К.З., Qном – t проводимость при длит. ном. ток до начала К.З. Qк - t пров. при К.З. к моменту времени tк после интегрирования => I2к/ q2*tк = Zк2* tк=АQк – АQном, где Zк2 – плотность тока, АQк, АQном – значение интегральной правой части => I2= I1*√(tк1/tк2) – уравнение не учитывает теплоотдачу в окруж. Среду и поэтому справедливо при длительном К.З. не более 10˚С. Из-за переходных процессов ток К.З. меняется , ищем фиктивную времени tф – время, при котором количество тепла, выделяющегося при прохождении реального тока за действительное время его протекания. Отношение В”=I”/I∞, где I” – действит. значение тока в начале К.З, зная что tк = t и В” находят tф,пер – термодатчик. Tф1апер=0,005(В”)^2 ; tф = tф,пер + tф, апер.