Задание д6
Считая, что при значениях S1 и , взятых из задания К1, система находится в положении равновесия, получить буквенные выражения необходимых для этого величины приложенного к стержню АВ уравновешивающего момента сил Мур .
Указания. Для решения применить принцип возможных перемещений.
Решение
Изобразим систему в заданном положении S = S1 = 0,34 м и = 600, и покажем действующие силы тяжести стержня G1 и материальной точки G2, а также уравновешивающий момента сил Мур, приложенную к стержню. Реакции идеальных связей в точках О, C показывать не будем.
Запишем принцип возможных перемещений для системы с неидеальными связями
.
Зададим системе возможное перемещение δ и вычислим, в соответствии с принципом возможных перемещений, сумму возможных работ обозначенных на рисунке сил
.
Выразим возможные перемещения δh1, δh2 и δφАВ через δ.
Возможное перемещение δφАВ стержня АВ равно δφ.
Величину
можно
найти как полный дифференциал функции
,
вычисленный при фиксированном времени
(
).
Зависимость
найдена в задании Д5
=
Величину
можно
найти как полный дифференциал функции
yМ (φ),
вычисленный при фиксированном времени
(
).
Зависимость yМ
(φ) найдена
в задании К1.
=
тогда
=.
Подставив найденные выражения возможных перемещений в уравнение принципа возможных перемещений, получим
После сокращения
на
,
найдем величину уравновешивающий
момент, который сможет обеспечить
равновесие системы в заданном положении.
Задание д8
Полагая S = S1 = const (значение S1 взять из таблицы К1), получить дифференциальное уравнение движения механической системы и определить угловое ускорение стержня АВ. Считать, что к стержню АВ приложен крутящий момент Мкр = 100 Н∙м, который направлен так, что он способствует увеличению угла .
Указания. Для составления дифференциального уравнения движения применить уравнение Лагранжа II рода.
Решение
Для рассматриваемой механической системы с одной степенью свободы при использовании обобщенной координаты уравнение Лагранжа второго рода записывается следующим образом
−
,
где Т – кинетическая энергия механической системы, Qφ – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате . Кинетическая энергия системы вычисляется как сумма кинетических энергий всех входящих в систему тел: стержня АВ и материальной точки М
Т = ТАВ + ТМ.
Выражение кинетической энергии рассматриваемой системы уже составлено ранее в задании Д5, оно имеет вид
Т2 =
Вынося
за скобки получаем
Выполним с кинетической энергией Т действия, указанные в уравнении Лагранжа второго рода.
Обобщенная сила находятся по формуле
=
,
где
- обобщенная координата,
-
сумма возможных работ действующих на
точки системы активных сил и реакций
связей. Обозначим на рисунке активные
силы, а так как связи, наложенные на
точки системы, являются идеальными, то
реакции связей не показываем.
Для вычисления
обобщенной силы
соответствующей координате ,
зададим системе возможное перемещение
.
Найдем сумму элементарных работ действующих на систему сил на этом возможном перемещении
=
.
Возможные перемещения и были найдены ранее в задании Д6
=
=.
Возможное угловое
перемещение
стержня
АВ равно
Подставив выражения возможных перемещений в сумму возможных работ сил, имеем.
=
откуда, после сокращения на , получим выражение обобщенной силы, соответствующей координате .
=
Подставляя найденные выражения в уравнения Лагранжа второго рода, после преобразований и сокращений получаем дифференциальное уравнение движения системы
+
=
После подстановки заданных числовых значений параметров, позволяет записать дифференциальное уравнение механической системы
+
=
После подстановки заданных числовых значений параметров, позволяет записать окончательный вид дифференциального уравнения механической системы
+
=
и получить выражение углового ускорения стержня
