Интегрирование по частям несобственных интегралов.

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в [a,b) непрерывные производные f(x) и g(x). Тогда = (1)

Доказательство. Возьмем  - любое, удовлетворяющее условию: a<<b. Имеем:

= (2)

Перейдем в (2) к пределу при b-0. Если будут существовать конечные пределы любых двух из трех членов в соотношении (2), то будет существовать конечный предел и 3-го члена этого соотношения. Ч.т.д.

Замечание. Для несобственных интегралов 1-го рода имеет место аналогичная теорема, именно:

Пусть функции f(x) и g(x) имеют в [a,+) непрерывные производные f(x) и g(x). Тогда = (3)

Доказательство. Возьмем В - любое, удовлетворяющее условию: В>a. Имеем:

= (4)

Перейдем в (4) к пределу при В+. Если будут существовать конечные пределы любых двух из трех членов в соотношении (4), то будет существовать конечный предел и 3-го члена этого соотношения. Ч.т.д.

Пример.

Замена переменной интегрирования в несобственных интегралах.

Теорема. Пусть f(x) определена и непрерывна в [a,b) (случай b=+ не исключается). Пусть функция x=(t) определена в [p,q) и имеет там непрерывную производную (t) (случай q= не исключается). Пусть функция x=(t) – строго монотонная (для определенности – строго возрастающая). Пусть (р)=а, =b. Тогда

= (1)

Причем осмысленность любой из частей равенства (1) обеспечивает осмысленность другой.

Доказательство. Возьмем число с любое, удовлетворяющее условию p<c<q. По теореме о замене переменной в определенном интеграле можно записать

= (2)

В соотношении (2) перейдем к пределу при сq-0 и учтем, что =b.

Если будет существовать конечный предел одной из частей равенства (2), то будет существовать конечный предел и другой части этого равенства. При этом будет иметь место соотношение (1). Ч.т.д.