Признаки сходимости.

Теорема 1. Пусть b – конечное число такое, что b>a. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство (б.д.?) Возьмем конечное число В такое, что В>b (B>a).

Тогда = + (4).

1) Пусть - сходится  существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел  - сходится.

2) Пусть - сходится  существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел  - сходится.

3) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .

Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 2), должен сходится и интеграл . Получили противоречие.

4) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .

Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 1), должен сходится и интеграл . Получили противоречие. Ч.т.д.

Теорема 2. Если f(x)0 хотя бы для x[b;+) (ba), то для сходимости интеграла (а значит и интеграла ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что К, для любого В (B>b).

Доказательство. Интеграл =(В), т.е. представляет собой функцию от В, определенную в [b;+) и неубывающую там. Сходимость интеграла равносильна существованию конечного предела у функции (В)= при В+. Но для существования конечного предела при В+ у функции (В) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, чтобы (В)= К, для любого В (B>b). Ч.т.д.

Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).

Пусть хотя бы для х[b;+∞) (ba) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:

1) из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (6)

2) из расходимости интеграла следует сходимость интеграла .

Доказательство (б.д.). Возьмем конечное число В такое, что В>b.

Тогда 0  (7).

1) Пусть сходится сходится существует число K>0 такое, что К В (В>b). Но тогда из (7) следует, что К Впо теореме 2: - сходится - сходится.

2) Пусть - расходится. Нужно доказать, что расходится и . Допустим противное, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.

Часто при применении этого признака подынтегральную функцию сравнивают с функцией .

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла

Сравним подынтегральную функцию f(x)= с функцией g(x)= на [1;+∞). Очевидно, что на этом промежутке < .

= = = =-(0-1)=1

Т.к. интеграл сходится, то и тоже сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл .

> =

С другой стороны, = = =2 =+∞

Следовательно, расходится и интеграл .

Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения). Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для х[b,+) (bа). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел

l= (l0, l).

Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать сходимость интеграла .

Функция f(x)= определена и непрерывна на промежутке [1;+)f(x) определена и непрерывна на промежутке [1,B], где В – любое число, удовлетворяющее условию B>1. Т.к. f(x)=  при х+, то возьмем в качестве g(x)= .

Тогда = =1 (10, 1).

- сходится (р= >1), следовательно и интеграл сходится.