![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Несобственные интегралы.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).
- •Геометрический смысл несобственного интеграла.
- •Признаки сходимости.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы 1-го рода.
- •Общий признак сходимости несобственного интеграла 1-го рода.
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).
- •Признаки сходимости интегралов 2-го рода.
- •Общий признак сходимости несобственного интеграла 2-го рода.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы 2-го рода.
- •Признак Абеля-Дирихле.
- •Основная формула интегрального исчисления для несобственных интегралов.
- •Интегрирование по частям несобственных интегралов.
- •Замена переменной интегрирования в несобственных интегралах.
Признаки сходимости интегралов 2-го рода.
Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы 2-го рода вида = . Установленные ниже утверждения легко переносятся на несобственные интегралы 2-го рода вида = и = + .
Теорема 1. Пусть с – любое число, удовлетворяющее условию a<c<b. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
Возьмем произвольное число ,
удовлетворяющее условию с<<b.
Имеем
=
+
(4)
1)
Пусть
сходится
существует конечный предел
.
Но тогда из (4) ,
что существует конечный предел
сходится.
2) Пусть сходится существует конечный предел . Но тогда из (4) , что существует конечный предел сходится.
В случаях 1) и 2) будем имеем: = + .
3) Пусть расходится. Покажем, что и расходится.
Допустим, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие.
4) Пусть расходится. Покажем, что и расходится.
Допустим, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема
2. Если f(x)0
хотя бы для x[с;b)
(ас<b),
то для сходимости интеграла
(а значит и интеграла
)
необходимо и достаточно, чтобы существовало
число K>0
такое, что
К,
для любого (с;b).
Доказательство. Интеграл =(), т.е. представляет собой функцию от , возрастающую с увеличением . Для существованию конечного предела у функции () при b-0 необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, т.е. чтобы существовало число K>0 такое, чтобы ()= К, для любого (с;b). Ч.т.д.
Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).
Пусть хотя бы для х[с;b) (ас<b) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:
1)
из сходимости интеграла
(5) следует сходимость интеграла
(6)
2) из расходимости интеграла следует сходимость интеграла .
Доказательство. Возьмем произвольное число , такое, что с<<b
Тогда
0
(7).
1)
Пусть
сходится
сходится
существует число K>0
такое, что
К
(с;b).
Но тогда из (7) следует, что
К
(с;b).
по
теореме 2:
- сходится
- сходится.
2) Пусть - расходится. Нужно доказать, что расходится и . Допустим противное, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения). Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для х[с;b) (ас<b). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел
l=
(l0,
l).
Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Для
применения теорем 3 и 4 требуется знание
некоторой «эталонной» функции g(x).
Часто в этой роли выступает функция
g(x)=
(р>0, x[a,b),
a<b).
Пример.
Исследуем на сходимость интеграл
.
1) Пусть р<1. Тогда
=
=
=
сходится при р<1.
2)
Пусть р=1. Тогда
=
=ln(b-a)-ln(b-)
=+
расходится при р=1.
3) Пусть р>1. Тогда
=
=
=+
расходится при р>1.
Пример.
Исследовать
на сходимость интеграл I=
.
Подынтегральная функция разрывна в точке х=0.
<
,
здесь р=
<1,
следовательно
сходится. Значит сходится и интеграл
от меньшей функции, т.е.
.
Пример.
Исследовать на сходимость интеграл
I=
.
f(x)=
определена в промежутке [0,1] всюду, за
исключением точек х=0 и х=1. (эти точки –
особые). Представим I
в виде суммы двух интегралов:
I=
+
=I1+I2.
Рассмотрим I1= . У этого интеграла 1 особая точка х=0. Имеем
=
=
-
f(x)
неограниченная в правой полуокрестности
точки х=0. Значит I1
– несобственный интеграл 2-го рода.
Т.к.
f(x)=
ln
x
при х+0,
то в качестве функции g(x)
возьмем g(x)=ln
x.
Тогда
=
=
=1.
Следовательно,
несобственные интегралы
и
в смысле сходимости ведут себя одинаково.
=
=
=
=
=
-
=
-0=
.
Т.о. сходится. Значит и I1 сходится.
Рассмотрим I2= . У этого интеграла 1 особая точка х=1. Имеем
=
=
=
=
f(x)
ограниченная в промежутке
.
Положим
Функция
ограничена на
существует. Следовательно, I2=
сходится.
Т.к. несобственные интегралы I1 и I2 сходятся, то сходится и интеграл I= .