Вопрос 17. Локальный экстремум функции двух переменных, необходимые, достаточные условия его существования.

Локальный это тоже самое что и наименьшее и наибольшее значении функции.

Наибольшее или наименьшее знчение функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти производную функции

2. Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на конфах отрезкаи выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Вопрос 18. Производная по направлению. Градиент.

Пусть задана функция двух переменных u=f(x,y) (для большего числа переменных

все аналогично), которая определена в окрестности т. (x0,y0) и дифференцируема в этой

точке. Мы будем рассматривать нашу функцию на лучах, проходящих через т. (x0,y0). Луч

задается начальной точкой и направляющим единичным вектором е = {cosα,cosβ }

его параметрические уравнения имеют вид:

Подставляя эти выражения вместо аргументов функции u=f(x,y), мы получим

функцию одной переменной u(t): u = f(x0 + t⋅cosα, y0 + t⋅cosβ).

Если существует , то эту производную мы назовем производной функции u=f(x,y) в точке (x0,y0) в направлении вектора е . Используя формулы

для производных сложной функции, получаем (для точки t=0).

Если ввести в рассмотрение вектор (обозначаемый gradu),

то выражение для производной в направлении вектора е можно записать в виде:

Меняя направление вектора е мы будем получать различные значения du\de.

Вопрос 19. Понятие числового ряда, его n-ой частичной суммы, сходимости числового ряда и его суммы.

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел соединенных знаком сложения:

U1 +u2+u3+….+un+…=∑un. Наверху бесконеч внизу н=1.

Числа u1,u2,..,un,…называются членами ряда, а член un – общим или n-ым членом ряда.

Ряд считатется заданным, если известен его общий член un = f(n) (n=1,2,…) , т.е. задана функция натурального аргумента.

Сумма н первых членов ряда Sn называется н-й частичной суммой ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся , если существует предел последовательности его частичных сумм, т.е. lim Sn = S. n→∞

Число S суммой ряда. В этом смысле можно записать : u1+u2+…+un+…=∑un=S.

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Билет 20.Сво-ва сходящихся рядов:

1. Если ряд u1+u2+..+un+.. сходится и имеет сумму S , то и ряд λu1+λu2…. (полученный умножением данного ряда на число λ) также сходится и имеет сумму λS.

2. Если ряды u1+u2+ and v1+v2+… сходятся и их суммы соответственно равны S1 and S2 то и ряд (u1+v1)+(u2+v2)+…+(un+vn)+.. (представляющий сумму данного ряда) также сходится и его сумма равна S1+S2.

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

4. Для того, чтобы ряд сходился , необходимо и достаточно, чтобы при n→∞ отстаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы lim rn = 0. При n→∞.

Билет 21. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

Пусть ряд ∑An = a1+a2+…+An+… будет положительным , т.е. an>0 (n=1,2,3,...)

Тогда очевидно, An+1=An+an+1>An, т.е. Аn оказывается возрастающей. На основании

теоремы о пределе монотонной последовательности, мы непосредственно приходит к сле-

дующему основному в теории положительных рядов предложению!

Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следова-

тельно, ряд – сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконеч-

ной (а ряд – расходящимся) в противном случае.

Билет 22. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: u1-u2+u3-u4+…+(-1)^(n-1) un+..,где un>0.

Теорема (признак Лейбница):

Если члены знакочередующегося ряда

U1 – U2 + U3 – U4 + ...

монотонно убывают по абсолютной величине, т. е.

U1 ≥ U2 ≥ U3 ≥ ... ≥ Un ≥ Un+1 ≥ ... и общий член ряда стремится к нулю, lim un=0 n→∞,то:

1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит величины первого члена ряда

3) модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшен-

ного члена (первого члена остатка):

и имеет знак своего первого члена.

Билет 23. Абсолютная и условная сходимости числового ряда.

Рассмотрим произвольный знакопеременный ряд

U1 + U2 + ... + Un + ... , (8.1)

т. е. ряд с членами произвольных знаков. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных

величин членов ряда (8.1):

|U1| + |U2| + ... + |Un| + ... . (8.2)

Теорема.

Если сходится ряд (8.2), то сходится и ряд (8.1).

Если ряд (8.1) сходится вместе с рядом (8.2), составленным из абсолютных величин

его членов, то про ряд (8.1) говорят, что он абсолютно сходится.

Если ряд (8.1) сходится и ряд (8.2) расходится, то ряд (8.1) называют условно сходящимся.

Между свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов имеется глубокое различие.

Теорема.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой

перестановке его членов, причем сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А, или символ + ∞ или

– ∞, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности рав-

ной А (или + ∞ или – ∞). Более того, можно так переставить члены условно сходящегося

ряда, что ряд, полученный после перестановки членов, окажется расходящимся.

Определение : ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится как сам ряд , так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение: Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Билет 24. Понятие функционального ряда, его области сходимости.

Функциональным рядом называется выражение

U1(x) + U2(x) + U3(x) + ... + Un(x) + ... ,

члены которого U1(x), U2(x), ... , Un(x), ... являются функциями от х.

Давая х числовое значение х0, мы получаем числовой ряд

U1(x0) + U2(x0) + U3(x0) + ... + Un(x0) + ... ,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Множество тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называет-

ся его областью сходимости. Ясно, что в области сходимости сумма функционального

ряда является некоторой функцией от х. Обозначим ее через S(x).

Специальный класс функциональных рядов составляют так называемые степенные

ряды вида

с0 + с1 х + с2 х^2+ с3 х^3+ ... + сn x^n + ... , (9.1)

где с0, с1, с2, ... , сn, ... – последовательность действительных чисел, коэффициенты ряда.

Выясним, какой вид имеет “область сходимости” степенного ряда, то есть множе-

ство {x} тех значений переменной, для которых ряд (9.1) сходится.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд (9.1) сходится в точке х0 ≠ 0, то он сходится, и притом абсо-

лютно, в интервале (- |x0|, |x0| ), то есть при всех значениях х, удовлетворяющих условию

|x|<|x0|.

Следствие.

Если степенной ряд расходится при некотором значении х = х1, то он расходится и

при всех значениях |x|>|x1|.

Любой степенной ряд сходится при значении х=0. Есть степенные ряды, которые

сходятся только при х=0 и расходятся при остальных значениях х.

Область сходимости может состоять из всех точек оси Ох, другими словами, ряд

может сходится при всех х.

Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположе-

ны от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно,

что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале

координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как

точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R,

что для всех х, по модулю меньших R (|x|<R), ряд абсолютно сходится, а для всех х, по

модулю больших R (|x|>R), ряд расходится.

Билет 25.Степенные ряды.Области сходимости степенного ряда.

Степенные ряды – ряды, члены которых являются функции, в частности степенные функции

Co+c1x+c2x^2+…+cnx^n+…

Co,c1,…,cn- коэффициенты степенного ряда.

Область сходимости:

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля:

1. Если степенной ряд сходится при значении х=х0≠0 (отличном от нуля), то он сходится и ,притом абсолютно, при всех значениях х таких, что Ι х Ι<Ιх0Ι.

2. Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях х таких, что |х|>|x1|

Свойства степенных рядов:

Теорема 1: Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать

неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же

радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x), ...

, S^(n)(x).

Теорема2: Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в преде-

лах от 0 до х, если х∈(-R; R), причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот

же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны

Билет 26. Дифференциальное уравнение, его порядок, общее, частное и особое решения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной , то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:

G (x,y,y’,…, y^(n) ) = 0 , где G – некоторая функция от н+2 переменных, n≥1.

Пример: y’=f(x,y) , dy\dx = f(x,y)

Исходя из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок

равен порядку старшей производной, содержащейся в нем.

Степенью дифференциального уравнения называется степень старшей производ-

ной, содержащейся в нем.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция у=у(х), которая при подстановки её в это уравнение обращается в тождество. Например, функция у=син х является решением уравнения у“+у=0.

Общим решением дифференциального уравнения н-ого порядка называется такое его решение :

У = φ(х,С1,….,Сн),

Которое является функцией перемнной х и н произвольных независимых постоянных С1,С2,…,Сн. (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними.)

Частных решением называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С1,С2,…,Сн.

Билет 27. Решение некоторых видов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных.

1. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно моет быть представлено в виде:

Dy\dx = f(x) g(y)

Or

M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy=0,

Where f(x),M(x),P(x) – некоторые функции переменной х

G(y),N(y),Q(y) – функции переменной у.

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.

2. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде: Y’=g(y\x),

Где g – некоторая функция (одной переменной).

Например, уравнение y’=y\x cos lny\x – однородное.

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция y=f(x,y)называется однородной степени к ( по переенным х и у), если для произвольного числа α выполняется равенство F(αx,αy) = α^kf(x,y)

3. Дифференциал ур-е первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

Y’+f(x)y=g(x),(1)

Где f(x), g(x) – некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда функция g(x) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, а впротивном случае – неоднородным.

Пример: будем искать решение в виде y=u(x)v(x) (тем самым искомыми становятся функции u(x),v(x) , одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая должна определяться из уравнения (1):

Так как y’=u’v+uv’ тогда u’v+uv’+f(x)uv=g(x) Or Vu’+u(v’+f(x)v)=g(x)

Найдем частное решение v=v(x) уравнения v’+f(x)v=0

Тогда функция u=u(x) – решение уравнения vu’=g(x).

Билет 28. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка ( тогда говоряд, что данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка).

Если дифференциальное уравнение имеет вид

Y’’ = f(x)

То оно решается последовательным интегрированием. Если в запись ур-я не входит искомая функция у(х), т.е. оно имеет вид G(x,y’,y’’)=0, то такое ур-е можно решить, найдя сначала вспомогательную функцию z=y’.

Билет 29. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом имеет вид Y’’ + py’ + qy = r(x),(1)

Где p,q – некоторые действительные числа, r(x) – некоторая функция. Если r(x) ≡0, то уравнение

Y’’ + py’ + qy =0 (2)

Называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Решение линейного однородного уравнения с постоянным коэффициентами.

Линейной комбинацией функции у1(х) и у2(х) с коэффициентами С1 и С2 называется выражение вида С1у1(х) + С2у2(х). Если линейная комбинация функций С1у1(х) + С2у2(х) равна нулевой функции только тогда, когда коэффициенты С1 и С2 равны нулю, то функции у1 и у2 называются линейно независимыми, в противном случае – линейно зависимыми.

Говоря о решениях уравнения (2) ,отметим, что они обладают структурой линейного пространства: если у1(х) и у2(х) – решения уравнения (2). То их линейная комбинация : у=С1у1+С2у2 (3)

Где С1 и С2 – некоторые числа, также является решением этого уравнения.

Теорема1: Если у1(х) и у2(х) – линейно независимые частные решения уравнения (2), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, т.е. имеет вид (3) для некоторых действительных чисел С1 и С2.

Описание решения уравнения (2) зависит от того, имеет ли соотв характеристическое уравнение λ^2+pλ+q=0 два различных корня, один корень или не имеет действительных корней.

Теорема2. 1) Пусть характеристическое уравнение(выше) уравнения (2) имеет действительные корни λ1 и λ2, причем λ1≠λ2. Тогда общее решение уравнения (2) имеет вид Y=C1e^λ1x + C2e^λ2x,

Где С1 и С2 – некоторые числа.

2)Если характеристическое уравнение имеет 1 корень λ (кратности 2) , то общее решение уравнения (2) имеет вид Y=C1e^λx +C2xe^λx

3. Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (2) имеет вид Y=C1e^αx * sin βx + C2e^αx * cosβx,

α=-p\2, β = √q-p^2\4 , C1,C2- некоторые числа

Решение линейного неоднородного уравнения (1) с пост. Коэффициентами.

Это уравнение может быть ,в частности, решено методом вариации произвольных постоянных, который состоит в следующем. Сначала находится общее решение у=С1у1+С2у2 однородного уравнения (2), имеющего ту же левую часть, что исходное неоднородное уравнение (1).Затем решение уравнения (1) находится в виде у=С1(х)у1+С2(х)у2, т.е. предполагается , что постоянные С1 и С2 являются функциями независимой переменной х. При этом функции С1(х) и С2(х) могут быть найдены как решения системы

Система : C1’e1 + C2’y2 = 0,

C1’e1’ + C2’y2’ = r.

Теорема: Общее решение линейного уравнения неоднородного дифференциального уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (2) и частного решения исходного неоднородного уравнения (1).

Билет 30.Комплексные числа.См.Тельнова