Вопрос 13. Дифференцируемость функции двух переменных

Функция u=f(x1, ..., xm) называется дифференцируемой в точке

M(x1, ..., xm), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

f(x1+∆x1, ..., xm+∆xm) – f(x1, ..., xm) ≡

≡ ∆u = A1∆x1 + A2∆x2 + ... + Am∆xm + α1∆x1 + ... + αm∆xm

где А1, А2, ..., Аm – некоторое, не зависящие от ∆x1, ..., ∆xm, числа,

а α1, α2, ..., αm – бесконечно малые при ∆x1→0, ..., ∆xm→0 функции, равные 0 при

∆x1=∆x2=... =∆xm=0.

Если положить ρ = + + ∆ ∆ x x

1 m

2 2

. . . , то условие дифференцируемости может быть

записано в виде:

∆u = A1∆x1 + A2∆x2 + ... + Am∆xm + )(ρ) (1)

Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции предста-

вимо в виде линейной части (по ∆x1, ..., ∆xm) и членов более высокого порядка (по ∆x1, ...,

∆xm или ρ).

Теорема 1. Если функция u=f(x1, ..., xm) дифференцируема в точке

M(x1, ..., xm), то в этой точке существуют частные производные по всем аргумен-

там, причем ∂u\∂xi=Ai, где Аi определяются из условия дифференцируемости.

Вопрос 14. Касательная плоскость.

Вопрос 15. Дифференциал функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

Вопрос 16. Частные производные и дифференциалы функции двух переменных высших порядков.

1.Частные производные:

Пусть частная производная ∂∂uxx xi( , . . . , )1 m функции u=f(x1,...,xm) существует в ка-

ждой точке некоторого множества { } M , т.е. представляет собой функцию переменных x1,

..., xm. Если эта функция имеет частную производную по переменной хk в некоторой точке

М0, то она называется второй частной производной функции f(x1, ..., xm) по переменным xi

и xk и обозначается ∂²u\∂xi∂xk , f’’ xi,xk.

Совершенно аналогично определяются и последующие частные производные

функции f.

Таким образом,

Если не все индексы i1, ..., in совпадают между собой, то частная производная назы-

вается смешанной.

Вычисляются частные производные по тем же правилам, что и обыкновенные про-

изводные. Необходимо только следить при каждом дифференцировании, чтобы все пере-

менные, кроме одной, считались постоянными.

Теорема. Пусть функция u=f(x1, ..., xm) определена в открытой m – мерной области

D и имеет в этой области всевозможные частные производные n-го порядка, причем все

эти производные непрерывны в D. Тогда значение любой к-ой смешанной производной не

зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

В подавляющем большинстве конкретных задач условия теоремы выполняются, и сме-

шанную производную можно вычислять, не обращая внимания на порядок последова-

тельных дифференцирований.

2.Дифференциалы высших порядков:

Пусть в некоторой области задана дифференцируемая функция u=f(x1, ..., xm), тогда

в каждой точке этой области определен дифференциал

Здесь частные производные являются функциями от x1, ..., xm. Если существуют

непрерывные частные производные второго порядка для u, то du будет иметь непрерыв-

ные частные производные по x1, ..., xm. Будем считать, что dx1, ..., dxm постоянны, тогда

можно определить дифференциал от первого дифференциала:

При вычислении дифференциалов от частных производных будем считать, что dx1,

..., dxm имеют те же самые значения, что и в исходном дифференциале du.

Полученное таким образом выражение мы назовем дифференциалом второго по-

рядка функции u

Точно так же мы определим и последующие дифференциалы функции u с помощью равенства