Вопрос 4.Определенный интеграл.
Для избранного разбиения отрезка [a, b] на части обозначим через max ∆xi максимальную из длин отрезков [x(i-1), xi], где i=1,2,…,n. Определение: Пусть предел интегральной суммы при стремлении max ∆xi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1,х2,… и точек ξ1,ξ2,… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у=f(x) на [a,b] ,обозначается ∫f(x)dx от а о б, а сама функция называется интегрируемой на отрезке [a,b] , т.е. ∫f(x)dx = lim ∑f(ξi)∆xi. Под lim : max ∆xi →0. Под max – i. Над ∑ - n, под – i=1. При этом число а называется нижним пределом, число b – верхний предел. Функция ф(х) – подынтегральной функцией, выражение f(x)dx – интегральной функцией ф(х) на отрезке [a,b] Определенный интеграл существенно отличается от неопределенного: неопр.- представляет семейство функций, а опр.-есть определенное число. В определении полагается, что a<b. Достаточно условие существования опр интеграла: Теорема: Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [a,b] , то она интегрируема на этом отрезке.
Вопрос 5.Свойства определенного интеграла.Геом смысл опр. Интеграла неотрицательной функции. 1)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ∫αf(x)dx = α∫f(x)dx (ot a do b) 2)Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx. 3)Если отрезок интегрирования разбит по частям. То интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е при любых а,б,с. ∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx. 4)Если на отрезке [a, b] , то и f(x)≤g(x), т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать. 5)теорема о среднем.Если функция у=ф(х) непрерырвна на отрезке [a, b] , то найдется такое знаение ξ принадлеж. [a, b], что ∫f(x)dx = f(ξ) (b-a)
Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x) и прямыми у=0; х=а; х=b.
Вопрос 6.Формула Ньютона-Лейбница Теорема. Пусть функция у=ф(х) непрерывна на отрезке [a, b] и Ф(х) – юбая первообразная для ф(х) на [a, b]. Тогда опр интеграл от функции ф(х) на отрезке равен приращению первообразной Ф(х) на этом отрезке. Т.е. ∫f(x)dx = F(b) – F(a) Нахождение опр инт с использованием данной теоремы осущ. В 2 шага: 1)используя технику нахождения неопр интеграла,находят некоторую первообразную для подынтегральной функции; 2)применение формулы Н.-Л. – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу.
Вопрос 7.Замена переменной и формула интегрирования по частям в опр. Интеграле. Эти подходы позволяют упростить запись решения. Замена переменной.Теорема1. Пусть функция φ(t) Имеет непрерывную производную на отрезк [α, β], a=φ(α), b=φ(β) и функция ф(х) непрерывна в каждой точке х вида х = φ(t) .,где t принадлежит [α, β] Тогда справедливо следующее равенство ∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ’(t)dt. Формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. Использование замены переменной помогает упростить интеграл, приблизив его к табличному. Интегрирование по чатям.Теорема 2.Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные b производные на отрезке [a, b] . Тогда ∫u dv = uv | - ∫vdu. где uv | = u(b)v(b) – u(a)v(a).
Вопрос 8. Геометрическое приложение определенного интеграла. 1.Вычисление площадей плоских фигур. 1) Если функция неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b] , то площадь равна определенному интегралу ∫f(x)dx. 2)Если функция неположительна и непрерывна на отрезке (а,б), топлощадь отличается знаком - ∫f(x)dx. 3)Если функция непрерывна, то складывается опр число интервалов так, что на каждом из них функция будет знакопостоянна или равна 0.Тогда S= ∫f(x)dx( от с до а) - ∫f(x)dx(от с до д) + ∫f(x)dx(от д до б) 4)Если заданы непрерывные функции y = f1(x) , y = f2(x) такие что f2(x) ≥ f1(x) .Тогда площадь фигуры,заключенной между кривыми y = f1(x) , y = f2(x) вычисляется по ФОРМУЛЕ: S= ∫(f2(x) – f1(x))dx. 5) Площадь поверхности,образованной вращением вокруг оси Ох кривой у=ф(х) заключенной между точками абциссами х=а и х=б, определяется по формуле : Sx = 2∏∫f√(1+(f’)^2) dx
2.Вычисление объемов тел вращения. Если функция у=у(х) знакопостоянна на отрезке а,б, то объем тела, образованного вращением оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=у(х),х=а,х=б,у=0 вычисляется по формуле: Vx = ∏∫y^2(x) dx.
Вопрос9.Несобственные интегралы 1 и 2 рода. 1.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Пусть функция у=ф(х) опрделена и интегрируема на произвольном отрезке [ a, t] , т.е. функция Ф(т)=∫f(x)dxОпределена для произвольного т большего или равного а. Определение.Несобственным интегралом ∫f(x)dx от функции ф(х) на полуинтервале от а до +бескон называется предел функции Ф(t) при т, тремящемся к +беск , т.е. ∫F(x)dx = lim ∫f(x)dx t→+∞ Если предел стоящий в правой части равенства существует и конечен то несобственный интеграл называется сходящимся , в противном случае - расходящимся. 2 задачи:
Исследование вопроса о сходимости заданного интеграла
вычисление значения интеграла в случае если последний сходится.
2.Несобственный интеграл от неограниченных функций. Определение. Несобственным интегралом ∫f(x)dx от функции у=ф(х) на полуинтервале от а до б называется предел lim ∫f(x)dx. δ→0+. Где δ>0 ,т.е ∫f(x)dx = lim ∫f(x)dx. δ→0+. Если предел стоящий в правой части равенства существует и конечен то несобственный интеграл называется сходящимся , в противном случае - расходящимся.
Вопрос 10.Функции двух независимых переменных. Определение. Пусть имеется н переменных величин, и каждому набору их значений (х1,х2,х3,…,хн) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины з.Тогда говорят что задана функция нескольких переменных з=ф(х1,х2,…,хн). Переменные х1,х2,… называются независимыми переменными или аргументами. З –зависимая переменная , а символ ф – закон соответствия. Множество Х называется областью определения функции.Очевидно это подмножество н-мерного пространства.
Вопрос 11.Предел и непрерывность Определение. Число А называется пределом функции з = ф(х,у) при х стрем к х0 и у стремящ к у0, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа έ больше 0 найдется положительное число δ больше 0 (зависящее от έ) такое что длЯ всех точек (х,у), отстоящих от точки (х0,у0) на расстоянии ρ, меньшее чем δ1, выполняется неравенство модуль ф(х,у)-А меньше έ. Обозначается предел так : lim f(x,y) =A при х стремящ к х0 а у к у0. Как правило вычислениепределов функции двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существует всего 2 направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке – а именно, справа и слева.На плоскости же таких направлений – бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать. Определение. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке (х0,у0) если она : 1) определена в точке (х0,у0); 2) имеет конечный предел при х стремящ к х0 и у к у0; 3) этот предел равен значению функции в точке (х0,у0) т.е. lim f(x,y) = f( x0,y0) при х стремящ к х0 а у к у0. Геометриеский смысл непрерывности: график к точке (х0,у0) представляет собой сплошную, нерасслаивающуюся поверхностьь.
Вопрос 12.Частные производные. Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении послкеднего к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: z’x, z’y or dz\dx , dz\dy or f’x(x,y) , f’y(x,y). Таким образом для функции z=f(x,y) по определению: Z’x = lim ∆xz\∆x=lim f(x+∆x,y) – f(x,y)\∆x Z’y= lim ∆yz\∆y = lim ( f(x,y +∆y) – f(x,y) )\∆y
Из определения частных производных следует, что для нахождения производной z’x (x,y) надо считать постоянной переменную у, а для нахождения z’y (x,y) - переменную х. При этом сохраняются правила дифференцирования.