64. Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай различных вещественных корней характ-го уравнения. Линейная независимость решений.

ЛОДУ второго порядка:

(1)

Его характ-е уравнение , в зависимости от значения дискриминанта , может иметь вещественные различные корни ( . Функции , по самому способу их нахождения являются решениями уравнения (1). Вронскиан этой

, следовательно - это ФСР. И полученные решения линейно независимы. Общее решение уравнения (1) в данном случае

.

65.Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай совпадающих вещественных корней характер-го уравнения. Линейная независимость решений.

ЛОДУ второго порядка:

(1)

Его характ-е уравнение , в зависимости от значения дискриминанта ,

может иметь вещественные совпадающие корни . Функция , как и в предыдущем случае, решение уравнения (1). Докажем, что функция тоже удовлетворяет уравнению: Тогда, подставив, получаем , так как - корень характер-го уравнения: , . Функции - ФСР, т.к. . Следовательно решения линейно независимы. Общее решение уравнения (1) в данном случае .

66. Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней характер-го уравнения. Линейная независимость решений.

ЛОДУ второго порядка:

(1)

Его характ-е уравнение , в зависимости от значения дискриминанта ,

может иметь комплексные корни. В этом случае , где , . Мы должны доказать, что функции удовлетворяют уравнению. Находим , подставляем в уравнение: . Рассмотрим по отдельности коэффициенты при и при : , Итак, т.е. функция - действительно решение уравнения. Аналогично доказывается, что и функция - решение уравнения. Вронскиан этой системы функций: , т.е. это - ФСР. И полученные решения линейно независимы. Общее решение уравнения (1) в данном случае: .

67. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше первого. Неоднородное уравнение со специальной правой частью.

Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка (n>2) с постоянными коэффициентами

, (1)

где pi, i= - числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Сформулируем необходимые утверждения. Частные решения уравнения (1) также ищем в виде , где k- постоянное число.

Характеристическое уравнение для уравнения (1) имеет вид:

(2)

Уравнение (2) имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через .

I случай:

Все корни уравнения (2) действительны и просты. Тогда функции являются частными решениями уравнения (1) и образуют ФСР. Поэтому общее решение уравнения (1) записывается в виде:

II случай:

Все корни характерестического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность m>1). Каждому простому корню k соответствует одно частное решения вида , а каждому корню k кратности m>1 соответствует m частных решений:

И общее решение записывается как сумма частных решений уравнения.