59. Существование фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.

Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения n задач Коши, причём начальные условия в точке x0 для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя:

Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

60. Структура общего решения линейного (однородного и неоднородного) дифференциального уравнения порядка выше первого.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).

Док-во. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение yчо(x) этого уравнения содержится в формуле y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа

и найдём постоянные C1, C2, …, Cn как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений:

Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C1, C2, …, Cn и сравним её с функцией yчо(x).

Функции y(x) и yчо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x0, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: yчо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + … + Cn yn(x). Теорема доказана.

Терема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

(1)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

и частного решения неоднородного уравнения

Док-во:

Мы должны доказать, что если известно частное решение неоднородного уравнения (1), то любое его другое частное решение может быть получено по формуле

при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Так как и , и - решения неоднородного уравнения (1), то и , следовательно, по линейности оператора Ln(y),

Функция удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn: . Таким образом, , что и требовалось доказать.