61. Метод вариации произвольных постоянных для линейных дифференциальных уравнений второго порядка (Метод Лагранжа).

ЛНДУ второго порядка:

(1)

Пусть - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

(2)

- общее решение уравнения (2). Идея метода Лагранжа состоит в следующем. Ищем общее решение неоднородного уравнения (1) в том же виде , предполагая, что постоянные C1, C2 - не постоянные, а функции, зависящие от x:

. Мы должны найти эти функции. Находим производную :

.

Дальше надо вычислять вторую производную. Воспользуемся тем обстоятельством, что вместо одной функции y(x) мы ищем две функции C1 (x) и C2(x), и, как следствие, можем наложить произвольную связь на эти функции. Для того, чтобы в выражении для второй производной не участвовали вторые производные функций C1 (x) и C2(x), в качестве этой связи положим

(3)

Тогда . Подставляем выражения для y(x) и её производных в уравнение (1):

Преобразуем:

Выражения в квадратных скобках раны нулю, так как функции - решения однородного уравнения (1), поэтому окончательно

(4)

Уравнения (3),(4) дают замкнутую систему для функций :

(5)

определитель этой системы совпадает с вронскианом функций и поэтому отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение . Находя это решения и интегрируя выражения производных для , получим C1 (x) и C2(x), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (1) .

62. Метод вариации произвольных постоянных для линейных дифференциальных уравнений порядка выше второго.

В общем случае неоднородного уравнения n-го порядка , если известна фундаментальная система решений y1(x), y2(x), …, yn(x) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде y(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + …+ Cn(x) yn(x).

Тогда .

Потребуем, чтобы сумма слагаемых, содержащих производные функций Ci(x), т.е. чтобы сумма, стоящая в квадратной скобке, была равна нулю:

, тогда .

Опять положим , и т.д. Тогда для n-ой производной получим: .

Подставляя выражения для производных в неоднородное уравнение и учитывая, что функции yi(x) удовлетворяют соответствующему однородному уравнению, получим . Вместе с принятыми ранее соотношениями для производных получим систему уравнений:

Определитель этой системы, как и при n = 2, совпадает с вронскианом фундаментальной системы решений, следовательно, система имеет единственное решение . Находя это решение и интегрируя, найдём Ci(x) (i = 1, 2, …, n), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + …+ Cn(x) yn(x).

63. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай различных вещественных корней.

(1)

Пусть коэффициенты уравнения (1) постоянны на рассматриваемом интервале (a, b) (ai = const при i = 1, 2, …, n). Для нахождения фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения (1) предположим, что решения этого уравнения имеют вид . Тогда . Подставляя эти выражения для производных в (1) и сокращая его на , получим алгебраическое уравнение n-ой степени

(2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Это уравнение имеет n (возможно, комплексных корней) k1, k2, …, kn, некоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем:

Если - простой действительный корень характеристического уравнения (т.е. корень кратности r = 1), то ему соответствует функция в ФСР;

если - действительный корень характ-го уравнения кратности (т.е. ), то этому множеству корней соответствует набор функций в ФСР;