Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

§1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Определение 1. Суммой A+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В или обоих этих событий.

Например, если из орудия произведены 2 выстрела и А – попадание при первом выстреле, а В – при втором, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором или при обоих одновременно. Если А и В – события, то А+В – событие состоящее в появлении одного из этих событий, (безразлично какого) любого.

Определение 2. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, событие А+В+С состоит из следующих событий: А, В, С; А и В; А и С; В и С; А и В и С. Пусть события А и В несовместные, вероятности этих событий известны. Найти вероятность одного из этих событий. Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого равна сумме вероятностей этих событий:

.

Доказать самостоятельно.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий безразлично, какого равна сумме вероятностей этих событий .

Примеры. 1) В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Пусть событие А: появление красного шара.

Пусть событие В: появление синего шара.

Вероятность .

Вероятность .

События А и В несовместны, поэтому по теореме имеем:

.

2) Стрелок стреляет по мишени разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область: 0,45, во второй: 0,35. Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. А – стрелок попадает в 1-ю область.

В – стрелок попадает во 2-ю область.

События несовместны, поэтому:

§ 2. Полная группа событий.

Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице: .

Доказательство. Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна 1, то . Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: .

Теорема доказана.

Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А: ; из города В: . Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. Событие А – пакет получен из города А;

Событие В – пакет получен из города В;

Событие С – пакет получен из города С.

Эти события образуют полную группу, поэтому: 0,7 + 0,2 + Р(С) = 1

Р(С) = 1 – 0,9 = 0,1.

Определение 3. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначим А, то другое .

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели противоположные события. Если А – попадание, то промах – .

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. Событие А – деталь стандартная и – нестандартная – противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: .

Доказать самостоятельно.