- •Тема: Предмет теории вероятностей (тв), ее значение для экономической науки. Случайные события. Алгебра событий.
- •§ 1. Элементы комбинаторики.
- •§ 2. Предмет теории вероятностей.
- •§ 3. Краткая историческая справка.
- •§ 4. Виды случайных событий.
- •§ 5. Классическое определение вероятности.
- •§ 6. Относительная частота. Статистическая вероятность.
- •Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •§1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
- •§ 2. Полная группа событий.
- •§ 3. Теорема умножения вероятностей.
- •§ 4. Независимые события. Теорема умножения независимых событий.
- •§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •§ 6. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
- •§ 7. Формула полной вероятности.
- •§ 8. Формула Бейеса.
- •Тема: Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •§ 1. Формула Бернулли.
- •§ 2. Локальная теорема Лапласа.
- •§ 3. Интегральная теорема Лапласа.
- •Тема: Случайные величины.
- •§ 1. Дискретные и непрерывные случайные величины (св).
- •§ 2. Законы распределения вероятностей дсв.
- •§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •§ 4. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •Тема: Закон больших чисел (самостоятельно).
- •§ 1. Неравенство Чебышева. (рассмотреть самостоятельно)
- •§ 2. Теорема Чебышева.
- •Тема. Функция распределения вероятностей св.
- •§ 1. Функция распределения и ее свойства.
- •§ 2. График функции распределения.
- •§ 3. Плотность распределения вероятностей нсв.
- •Свойства плотности распределения.
- •§ 4. Законы распределения вероятностей.
- •§ 5. Нормальное распределение. Числовые характеристики нсв.
- •§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения
§ 3. Краткая историческая справка.
Изучение теории азартных игр восходит к ранней истории теории вероятностей. В 1654 г. Любитель математики Шевалье де Мере обратился к ученому Блезу Паскалю по поводу решения некоторых обобщений задачи об очках, о разделении ставок в азартных играх. Задачу решали Паскаль и Ферма. Основателями теории вероятностей следует считать французских математиков Блеза Паскаля (1623-1662) и Пьера Ферма и голландца Гюйгенса (1629-1695), в ответах, которых на запросы азартных игроков были введены новые понятия: вероятность события и математическое ожидание.
Важнейший этап в развитии теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Якоба Бернулли (1654-1705), он доказал теорему, которая получила название «Закон больших чисел». Эта теорема была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.
В конце 18 – начале 19в.в. успехи в развитии теории вероятностей связаны с работами крупнейших ученых, представителей теории вероятностей: Лапласса (1749-1827), Гаусса (1777-1855), Пуассона, Муавра и др.
Во второй половине 19 – начале 20 в.в. фундаментальные открытия были сделаны математиками Петербургской школы: П.Л. Чебышевым (1821-1894), А.М. Ляпуновым (1857-1918) и А.А.Марковым (1856-1922). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам: Бершитейну, Романовскому, Колмогорову, Хинчину, Гнеденко и др.
§ 4. Виды случайных событий.
Знаем, что событие является результатом проведения опыта или результатом испытания эксперимента, как будем говорить в дальнейшем.
Определение 4. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании (опыте).
Примеры. 1) Из ящика с деталями наугад извлекается деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной. События: «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» несовместные.
2) Брошена монета. События появился «герб» и появилась «цифра» (орел и решка) – несовместные.
3) Студент решает задачу на зачете. События студент «сдал зачет (решил задачу)» и «не сдал зачет (не решил задачу)» - несовместные.
Определение 5. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Или появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
В частности, если события образующие полную группу попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот случай будем использовать далее.
Примеры 4) Приобретены 2 лотерейных билета: обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:
выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй;
выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй;
выигрыш выпал на оба билета;
на оба билета выигрыш не выпал.
Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.
Пример 5. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих 2-х событий: попадание и промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.
Определение 5. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример 6. Появление герба и цифры (орла и решки) события равновозможные при бросании монеты.
7) Появление любого из числа очков от 1 до 6 при бросании правильной игральной кости события равновозможные.