18. Двумерная функция распределения и ее свойства.

Многомерная случайная величина Х=(Х₁, Х₂, ... Х_n) – это совокупность случайных величин Х_i , заданных на одном и том же пространстве элементарных событий. Закон распределения вероятностей многомерной случайной величины Х задается ее функцией распределения

которая является числовой функцией многих переменных и как вероятность принимает значения на отрезке [0,1].

Свойства двумерной функции распределения совпадают с многомерной:

1. 0 , так как это вероятность.

2. F(x,y) –неубывающая функция.

3. F(x) непрерывна в каждой точке слева.

4. .

5. .

6. Вероятность того, что случайная точка попадет в замкнутый прямоугольник.

7.

Двумерный дискретный закон распределения изображается в виде таблицы, где в первой строке строчки перечисляются возможные значения случайной величины , в первом столбце возможные значения

Y1	P11	P12		P1n
Y2	P21	P22		P2n
Yn	Pm1	Pm2		Pmn

При этом должно выполняться условие нормировки

Обозначим одномерные законы распределения

	X1		Xn
P	P1		Pn

	y1		yn
P	q1		qn

любых x,y R выполняется соотношение

19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.

Случайный вектор называется непрерывным, если существует такая непрерывная неотрицательная функция p(x,y), что для При этом p(x,y) – двухмерная плотность вероятности.

Свойства.

1. p(x,y)=

2. P

3.

4.

20. Независимость случайных величин

Случайные величины ₁, ₂ называются независимыми, если для любых действительных чисел x₁,…,x_n R случайные события ( ₁<X₁),…, ( _n<X_n) независимы.

Из определения независимых событий вероятность появления должна равняться произведению вероятностей

P( ₁<X₁,…, _n<X_n )=P( ₁<X₁)…P( _n<X_n)

Случайные события независимы, если многомерная функция распределения равна произведению функций распределения координат.

1. Дискретные случайные величины будут независимы, если . для всех ,

2. Непрерывные случайные величины. Они описываются плотностью вероятности, которая равнв производной n порядка по произв. х_n

p(x,y)= Если случайные величины независимы, то .