27. Гистограмма и полигон.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения. Например, график эмпирической функции распределения, кроме того, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки, которой соединяют точки c координатами:

Для изучения непрерывного признака строится гистограмма. Для этого интервал , где , делится на несколько частичных интервалов одинаковой длины h. Затем подсчитывается число вариант n_i, попавших в каждый интервал.

Гистограмма – фигура, состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длины , а высоты .

Тогда площадь -го прямоугольника равна , а площадь всей гистограммы , где - объем выборки.

Аналогично строится гистограмма относительных частот. При этом вдоль оси Oy откладываются . Тогда площадь i-го прямоугольника равна . А площадь всей гистограммы .

Аналогичным свойством нормировки обладает плотность распределения вероятностей. Т. о. гистограмма относительных частот служит для оценки вида плотности вероятности.

28. Числовые характеристики выборки.

Выборочным средним называется среднее арифметическое значение вариант: .

Выборочной дисперсией называется среднее значение квадратов отклонения вариант от среднего:

Если раскрыть скобки, получится еще одна формула для вычисления дисперсии

Чтобы получить характеристику меры разброса случайной величины вокруг выборочного среднего, имеющую ту же единицу измерения, извлекают квадратный корень из дисперсии.

Выборочным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии: .

Размах варьирования: .

Начальным моментом r-го порядка - среднее значение r-ых степеней вариант: .

Центральным моментом r-го порядка называется среднее значение отклонений в степени r от среднего: .

Модой называется варианта, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Для нормального распределения среднее значения, мода, медиана совпадают.

Асимметрией называют величину равную: .

Пределы значений асимметрии от до . При распределение симметрично, в частности для нормального распределения

Если в вариационном ряду преобладают варианты меньше, чем х_в, то А_s < 0,1, то есть будет наблюдаться более длинная ветвь влево. При положительной асимметрии - более длинная ветвь вправо. Для нормального распределения А_s =0. Таким образом, асимметрии характеризует меру симметричности эмпирической кривой распределения относительно среднего значения.

_{Асимметрия характеризует меру симметричности эмпирической кривой распределения относительно среднего значения.}

Эксцессом называют величину равную:

Эксцесс показывает степень крутости кривой распределения признака Х по сравнению с крутостью нормального распределения. Если Ех<0, то кривая распределения имеет более плоскую и широкую вершину, чем при нормальном распределении, если Ех>0 кривая распределения имеет более острую и узкую вершину. Значения эксцесса лежат в полуинтервале Для нормального распределения .

Эксцесс показывает степень островершенности эмпирической кривой распределения по сравнению с нормальной кривой.