9.5. Модель Шарпа

Находит применение для оценки и оптимизации соотношения доходность-риск ЦБ, в том числе портфеля ЦБ. Основным в этой модели является постулирование связи доходности отдельной ЦБ с состоянием рынка в целом. Последнее оценивается через какой-либо индекс, рассчитываемый по той или иной методике и доступный широкому кругу инвесторов, например, отечественные индексы ММВБ и РТС.

Уравнение связи доходности i-ой ЦБ портфеля и рынка в целом

(5.1)

где

α_i – постоянный параметр, характеризующий часть доходности ЦБ не зависящей от рынка в целом,

β_i –постоянный параметр, характеризующий зависимость доходности ЦБ от рынка в целом,

r_M(t) – текущее значение выбранного индекса, характеризующего доходность рынка ЦБ в целом,

ε_i – случайная ошибка.

Используя методы регрессионного анализа, нетрудно по достаточно большому историческому периоду t = 1, 2,...,n получить оценки перечисленных параметров, в том числе характеризующей риск ЦБ приведенной остаточная сумма квадратов регрессии

Доходность портфеля из k активов с учетом веса W_i каждого из них в портфеле

(5.1)

где – «портфельная бета» отражает долю доходности портфеля, обусловленную общей обстановкой на рынке.

Основные этапы формирования эффективного по Шарпу портфеля состоят в следующем:

1. Выбрать k ценных бумаг и по некоторому историческому периоду t = 1, 2,...,n и определить для каждой из них среднюю доходность за этот период

2. Определить за этот же период среднюю доходность рынка в целом

3. Вычислить оценки дисперсии для доходности рынка и ковариации , а затем и «портфельной беты» , где ρ – коэффициент корреляции

4. Найти оценки собственных доходностей для каждой ценной бумаги портфеля , а также оценки средних и дисперсий соответствующих ошибок ε_i

Риск, он же дисперсия доходности i-ой ценной бумаги портфеля представляет собой сумму систематического (странового) и несистематического рисков

Диверсификация устраняет или, по крайней мере, существенно уменьшает несистематический риск, вследствие чего . Тогда, полагая отсутствие связи между рисками бумаг портфеля общий риск портфеля

(5.2)

Таким образом, и доходность и риск портфеля, в соответствии с (5.1), (5.2) зависят от веса каждой бумаги в портфеле. Задавшись одной из этих величин, например, допустимым риском, можно поставить задачу оптимизации портфеля путем подбора весов каждой из бумаг, обеспечивающих максимальную доходность портфеля. Задавшись другим значением риска, можно найти другое значение доходности и т.д. Указанную оптимизацию можно провести с помощью опции «Поиск решения» пакета Excel.

В результате образуется граница эффективных портфелей типа линии 1 на рисунке 5.1. Поведение этой линии отражает «золотое правило» РЦБ: чем выше доходность, тем выше риск

Дальнейшим развитием модели Шарпа является включение в портфель безрискового актива, к которым в развитых странах обычно относят облигации государственного

казначейства на срок 5÷20 лет. Для российского рынка в качестве такого актива можно принять еврооблигации Центробанка со сроком погашении 5÷15 лет. Их доходность не превышает 5% и гарантируется золотовалютными резервами государства. Другой вариант - ставка депозита банков с наивысшим рейтингом ААА, например Альфа-банка ( одного из немногих в России, не имеющих случаев отказа от своих обязательств по выплатам) на соответствующий периоду вложения средств срок.

Доходность портфеля, безрисковый актив которого имеет вес W_rf и доходность R_rf, а рисковый - W_A и R_A, соответственно,

(5.4)

Риск портфеля в виде СКО

. (5.5)

Поскольку для безрискового актива по определению риск и, соответственно, СКО s_rf = 0, с учетом (5.4), (5.5) окончательно имеем

, (5.6)

где k_sh – коэффициент Шарпа.

Уравнению (5.6) соответствует прямая линия 2 на рис. 5.1. Наиболее эффективный портфель соответствует точке соприкосновения линий 1 и 2. Правее этой точки доходность растет медленнее чем риск, левее – падает быстрее чем риск. В окрестности же этой точки риск и доходность приблизительно пропорциональны друг другу.

11

Рис. 5.1 Эффективная граница портфеля (1) и линия рынка капитала (2)