Свойства и задачи лп.

1. множество всех допустимых решений системы функциональных ограничений явл-ся выпуклым многоугольником.

2. Если ЗЛП имеет оптимальные решения, то целевая функция принимает max/min в одной из угловых точек многоугольника решений.

Если z(x) принимает оптимальные значения болеем вем в одной угловой точки, любой точке, является выпуклой линейной комбинации этой точки. Это свойство является фундаментальным, т.к. указывает путь решения ЗЛП вместо исследования бесконечного множества допустимых решений. Для нахождения оптимального значения исследуется лишь угловые точки, число которых конечно.

3. Каждому допустимому базисному решению ЗЛП соответствует угловая точка многоугольника решений, и наоборот, каждой угловой точке многоугольника решений соответствует допустимому базисному решению.

Графический метод решения злп с 2-мя переменными.

Графический метод используется для решнения задач с 2-мя переменными следующего вида:

Z(x)= c1x1+c2x2+…+cnxn-max (1)

a11x1+a12x2≤b1 (≥b1)

a21x1+ a22x2≤b2 (≥b2)

……………………….

Am1x1+ am2x2≤bm(≥bm)

X1≥0, x2≥0

Данный метод основывается на возможности графического изображения в области допустимых решений задачи, в нахождении среди них оптимальных решений.

Область допустимых решений задачи строится, как пересечения (общая часть) областей решений каждого из заданных ограничений.

Областью решения линейного неравенства ai1x1+ ai2x2≤bi является одна из двух полуплоскостей, на кот. прямая ai1x1+ ai2x2=0, соответствующая данному неравенству, делит координатную плоскость.

Для того. Что бы определить какая из 2-х координатных плоскостей является областью решений , достаточно координаты какой либо точки, не лежащей на прямой подставить в неравенство, если оно удовлетворяется, то областью решения является полуплоскость, содержащая данную точку. Если неравенство не удовлетворяется, то областью решения является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Для нахождения среди допустимых решений оптимальные решения используют линии уровня и опорные прямые.

Определение: Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция принимает постоянное значение.

Уравнние линии уровня в общем случае имеет вид: c1x1+c2x2=l (c)где l (c) – const/ Все линии уровня и между собой их норм. n=(c1; c2).

Определение: Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых решений и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей. ОДР любой задачи имеет не более 2-х опорных прямых, на одной из которых может находится оптимальное решение.

Значение z(x) на линии уровня возрастают, если линии уровня перемещать в направлении их нормали и убывают при перемещении линии уровня в обратном направлении.

Основные теоремы двойственности.

Теорема двойственности в ЛП строится на след.основных теремах:

1)Если одна из ЗЛП имеет конечный оптимум,то и двойственная к ней также имеет конечный оптимум,причем оптимальные значения линейных форм задач совпадают. F_max =Z_min.

Если линейная форма одной из двойственных задач неограничеена,то условие др.задачи противоречивы.

2)Компоненты оптим.решения одной из задач (прямой или двойственной) равны абсолютным величинам коэф.при соотв.переменным выражении линейной формы др.задачи (двойственной или прямой).При достижении ею оптимума,при условии,что получ.оптимальное решение не явл.вырожденным.

8. Алгоритм графического метода решения ЗЛП с 2-мя переменными.

1. Построить область допустимых значений.

2. Если ОДР является пустым множеством, то задача не имеет решения в виду не совместимости системы ограничений.

3. Если ОДР является пустым множеством, построим нормаль линии уровня n=(C1;C2) и одну из линий уровня , имеющую общие точки с этой областью.

4. Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, а в задаче на минимум в противоположном направлении.

5. Если при перемещении линии уровня по ОДР в направлении соответствующем приближению к экстремуму z(x). Линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решения в виду неограниченности z(x). Fmax=∞, Fmin=∞

6. Если задача ЛП имеет оптимальные решения, то для его нахождения решить совместно уравнение прямых, ограничивающих ОДР и имеющие общие точки соответствующей опорной прямой. Если z(x) достигает экстремуа в 2-х точках угловых, то задача имеет бесконечное множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек.

7. После нахождения оптимальных решений вычислить значение z(x) на этих решениях.