Алгоритм решения транспортной задачи.

1) Проверяем модель задачи. Если модель открытого вида, то приводим ее к закрытому виду путем введения фиктивного поставщика или потребителя.

2) Получаем первоначальное распределение поставок методом северо-западного угла или методом с учетом наименьших затрат.

3) Проверяем базисность решения. Если она нарушена, ее восстанавливают путем введения нулевой поставки в ту строку (столбец), которые были зачеркнуты одновременно.

4)Полученное решение проверяем на оптимальность методом оценок клеток.

5)Если решение неоптимальное, переходят к новому базисному решению, для этого строится цикл поставок для свободной клетки с наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой.

6)Определяем размер поставки и перемещаем по циклу и выполняем алгоритм решения до тех пор, пока не будет выполнен критерий оптимальности.

Стат. Распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.

Пусть дана некоторая ген. сов-ть, из нее извлечена выборка, при чем в ходе отбора значение х наблюдалось m раз, х₂ – m₂ раз, х_k – m_k раз. Причем сумма m_i , т.е. _I = n, где n – объем выборки. Наблюдаемое значение х_i, которое было получено в результате отбора называется вариантами, а изменение этого значения варьированием. Число m_i показывает сколько раз данное значение х_i встречалось в ходе отбора и называется частотой. Если записать последний вариант в возрастающем или убывающем порядке и соответствующие им частоты, то получится таблица, называющаяся дискретным вариационным рядом. Отклонение частоты m_i к объему выборки n называется относительной частотой. W_i=m_i/n

Статистическое распределение выборки – это последний вариант и соответ. им частот, т.е. дискретный вариационный ряд как раз и характеризует статистическое распределение выборки. Стат. распределение выборки может быть задано интервальным вариационным рядом. Пусть стат. распределение частот кол-го признака х известно заранее. Введем след. обозначения: m_x – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньше чем х, а n – объем выборки. Относительная частота появления события равна m_[/n. В том случае, если значение признака х будет измениться, то будет изменяться и относительная частота, следовательно m_x/n можно рассматривать как функцию от х. Данная функция называется эмпирической, т.к. была получена эмпирическим путем. Эмпирическая функция распределения – это функция F^*(х), которая для каждого х определяет относительную частоту события. Х<х F*(х)=m_х/n, следовательно для того, чтобы найти F*(х₅) необходимо число вариант меньших х₅ разделить на n. Интегральная функция F(х) распределения ген. сов-ти называется теоретической функцией распределения.

F*(x) обладает всеми свойствами функции F(x): 1) значение эмпирической функции принадлежит отрезку [0;1] 2)F*(x) – неубывающая функция 3) если х₁ наименьшая варианта, а х_к наибольшая, то F*(x)=0, при х<х₁ ; F*(x)=1, при х>х_к.

Критерий оптимальности транспортной задачи. Метод потенциалов.

Получив опорный план следует проверить его оптимальность. И если требуется перейти к новому опорному плану, с лучшим значением целевой функции Z

Для этого применим метод потенциалов. Каждому поставщику ai, и каждому потребителю bj, сопоставляют величины Ui и Vj.

Для того, чтобы некоторый опроный план: Х*=[[Xij]]ТЗ был минимальным (оптим.) необходимо и достаточно, чтобы ему соотв. система из (k+l)чисел Ui*,Vj*.Удовлетвор. условиям: Cij-(Ui+Vj)=0.Cij=Ui+Vj,где Xij >=0.(для занятых клеток). (1) Дельта Cij=Cij-(Ui+Vj)>=0 (для свободных клеток).(2) Числа Ui,Vj-называются потенциалами, соответ-но производителей и потребителей. Вся их система - потенциальная, а условия (1) и (2) – условия потенциальной системы. {Ui*,Vj*}.i=1,2,…,k. j=1,2,…,l. Каждое неравенство в отдельности (равенство) называется условием потенциальности, для соответст. клетки I,j.Поскольку числа неизвестных потенциалов (k+l),всегда на 1 больше числа уравнений N=k+l-1, то выбираем строку, где есть занятая клетка и для этой строки назначаем потенциал =0 и легко находить последовательно из уравнения (1) значение остальных потенциалов. Если же число заполненных клеток N<к+l-1,то выбираем строку, где есть занятая клетка с нулевыми перевозками и со стоимостью, которая нужна для определения потенциала из уравнения (1). Затем, для свободных клеток из соотношения (2) определяем величину дельта Cij>=0, то получим оптимальный план перевозок. Если же встречаем отрицательное Cij,то план не оптимальный и его нужно улучшать. Для проверки на оптимальность любого базисного решения ТЗ можно использовать метод оценок клеток. Оценкой клетки (ij)называется величина Zij=Cij+(Ui+Vj), где Cij-тарифы перевозок, Ui,Vj-числа, дополнительно доставляются снизу в строку и справа в столбце. Одно из них выбирается произвольно, а все другие подбираются так, что оценка заполненной клетки =0. Далее сост.матрица оценок клеток. Критерий оптимальности ТЗ: если в матрице оценок клеток нет отриц.элементов, то получается оптимальное решение. Экономический смысл оценок клеток: 1) если оценка клетки отрицательна – это значит, что изменение поставок в эту клетку уменьшит стоимость перевозки на величину (выгодные клетки); 2) если Zij>0 – это значит, что изменение поставки в эту клетку увеличит стоимость перевозки (невыгодные клетки); 3) если Zij=0, изменение поставки в эти клетки не приводит к изменению стоимости перевозки.

Доверительный интервал для мат ожидания при известном среднем квадратичном отклонении. В некотором случае G ошибки измерения бывает неизвестно например если измерение проводится одним и тем же прибором. При одних и тех же условиях,то G для всех измерений одно и тоже и обычно бывает известно.Пусть случайная величина Х распред нормально с парал-ми а G причем известна;построим доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр.Данные выборки есть реализация случайных величин Х1 ,Х2…Хn имеющих нормальное расположение с параметрами.При этом М(x ̅)=a, a G(x ̅)=G/√n,чтобы выполнялось соотношение,вероятность p=(|x ̅-a|<b)=ί где ί задана надежность.Пользуясь формулой P=(|x ̅-a|<b)=2Ф((β√n)/G) или P=(|x ̅-a|<b)=2Ф(t),где t=((β√n)/G) Из (1) найдем b=Gt/√n, мы можем P=(|x ̅-a|<Gt/√n)=2Ф(t) т.к. p задана= ί,то окончательно имеем замен-ем x ̅ на x ̅b P(x ̅b- ( tG)/( √n)<a< x ̅b+ ( tG)/( √n))=2Ф(t) смысл полученного соотношения таков,что с надежностью ί можно утверждать что доверительный интервал (x ̅b- ( tG)/( √n), x ̅b+ ( tG)/( √n)) покрывает неизвестный параметр.Точность оценки β=( tG)/( √n).Здесь число t определяется из равенства,что Ф(t)= ί/2 по таблице приложения 2.

Доверительные интервальные для параметров нормального распределения. Пусть Q- оцениваемый параметр Qn-его оценка,составленная из Х1,Х2…Х n.Если известна что оценка Qn является несмещенной и состоятельной,то по данным выборки вычисляет значение Qn и считает его приближение истинного значения Q. При этом средне квадратичное отклонение оценивает порядок ошибки.Такие оценки называются точечными.Если о распределении имеется какая-либо информация,то можно сделать больше.Рассмотрим оценку параметров а,в. В чем суть его.Пусть b>0,некоторое число если выполняется неравенство |Q-(Qn) ̅|<b,т.е. (Qn) ̅-b<Q<(Qn) ̅+b то говорят что интервал ((Qn) ̅-b;(Qn) ̅+b) покрывает параметр Q.Однако невозможно указывать оценку Qn такую,что события |Q-(Qn) ̅|<b было достоверным,поэтому мы будем говорить о вероятности этого события число b- называется точной оценкой. Надежностью(доверительной вероятностью) оценки (Qn) ̅ параметра Q для заданного b>0 называется вероятность того,что интервал (Qn) ̅-b<Q<(Qn) ̅+b покроет параметр Q.Заметим,что после того как по данным выборки вычислена оценка (Qn) ̅ событие |Q-(Qn) ̅|<b становится или достоверным или невозможным т.к. интервал ((Qn) ̅-b;(Qn) ̅+b) покрывает Q или нет.Но дело в том что параметр Q нам неизвестен,поэтому мы называем надежностью уж вычислительной оценки (Qn) ̅.Вероятностью того что интервал ((Qn) ̅-b;(Qn) ̅+b) найдены для производственной выборки покроет.Если мы сделаем много выборок Vn и для которой из них построим интервал,то доля тех выборок чьи интервалы покроют Q.Чем меньше число b тем меньше надежность. Доверительным интервалом – называется найденный по данным выборки интервал ((Qn) ̅-b;(Qn) ̅+b) который покрывает параметр Q с заданной надежностью.Надежность обычно принимает равной 0,95 ил 0,99 или 0,999. Доверительный интервал для математического ожидания при известном среднем квадратичном отклонении. В некоторых случаях ошибки измерения

Статистические оценки параметров распоед-я требования к статистическим оценкам..

а) выборка как набор СВ.

пусть имеется непрерывная случайная совокупность каждый объект которой наделен признаком х.При случайном извлечении объекта из генеральной совокупности становится известным значение х признака х этого объекта.Т.о мы можем рассматривать извлечение объекта из генеральной совокупности как испытание,а х-как СВ,а х-как одно из возможных значений х.Допустим что удалось установить к какому типу распред-я относ-ся признак х поэтому возникает задача оценки параметров которые определяют это распред-е.Нарпимер если известно что изучаемый признак распред-я в генер.совокупности нормально то необходимо оценить т.е приближенно найти М(к) и G т.к эти 2 параметра полностью определяют норм.распред-е.Обычно в распред-и исследователя имеются лишь данные выборки генеральной совокупности .Например значение количественного признака х₁,х₂…х_n получ. В результате наблюдений через эти данные и выражаются оцениваемые параметры.Опытное значение х можно рассматривать как значение разл.Св х₁,х₂…х_n с тем распред-ем что и х и следовательно с теми же числовыми хар-ками которые имеет х.

М(x_i)=М(х); Д(x_i)=Д(х) Величины х₁,х₂…х _n можно считать независимыми в силу независимых наблюдений.Значения х₁,х₂…х _n в этом случае наз. Реализациями.СВ х₁,х₂…х_n cледует что найти оценку неизвестным параметрам это значит найти ф-и от наблюдаемых CВ х₁,х₂..х_n которое дает приблизительное значение оцениваемого параметра. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность Vn относительно количественного признака х.Генеральной средней х_n средняя(или Q) наз.среднее арифметическое значение признака генеральной совокупности.Если все значения х₁,х₂…х_n признака генеральной совокупности объема N различны , то х_r =1/N(х₁ +х₂+…+х_n) при условии что ∑х=N.(1)Пусть все значения х₁,х₂…х_n различны т.к объект может быть извлечен с одной и той же вер-тью 1/N ,то М(х) = х₁ *1/N₂ + х₂ * 1/N₂ + … + х_n *1/N_n=x_r (2).Вчаеучае непрерывного распределения признака х по определению полагаю что справедлива формула : М(х)=х_r средняя (2*). Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака х произведена выборка Vn.Выборочной средней Хв средняя наз.средняя арифметическая признака выборочной совокупности.Если все значения выборочной совокупности различны ,то Хв средняя=1/N(х₁+х₂+…х_n) (3).Если же значения признака х₁,х₂…х_n имеют соответственно частоты n₁,n₂…n_k причем n₁+n₂+….n_k=n , то Хв средняя=1/N(х₁*n₁+x₂*n₂+…+x_k*n_k)= 1/N ∑от i=1 до k х_i n_i,(4) эта величина наз.выборочной средней СВ с учётом св-в М(х).М(хсредняя)=М[1/N(x₁+x₂…+x_n)]= 1/2М(х₁+х₂…+х_n)= 1/n [М(х₁)+М(х₂)+…+М(х_n)]=1/n [М(х)+М(х)+…+М(х)]=1/n * n * a =a. М(хсредняя)мат. Ожидание выборочной средней совпадает с а генеральной средней т.к Д(х_i)=Д(х) и х₁,х₂..х_n независимы то согласно св-вам получаем:Д(хсредняя)=Д (1/n(x₁+x₂+…+x_n)=1/n²Д(х₁+х₂+…+х_n )=1/n² [Д(х₁)+Д(х₂)+…+Д(х_n)]= 1/n² [Д(х)+Д(х)+…+Д(х)]=1/n²*nД(х)=Д(х)/n т.е Д(хсредняя)=Д(х)/n (5).если варианта x_i > числа то для облегчения вычисления х_i3 применяют следующий прием: пусть с-сonst,то ∑от i=1 до n хi=∑от i=1 до n (х_i-c)+nc, то формула (3) преобразуется к виду Хв средняя=С+1/N ∑от i=1 до n (x_i-c) (6).Константу С берут такой чтобы разность х_i-c было по возможности не большим а число с было по возможности круглым.

б)Генеральная выборочная дисперсия.Для того чтобы охарактеризовать рассеивание значений колич.признака х генер.совокупности вокруг своего среднего значения вводят следующие хар-ки генеральной дисперсии.Генеральной дисперсией-наз.средняя арифметическая квадратов отклонений значений признака х генер.совокупности от генеральной средней .Если все значения х₁,х₂…х_n признака генер.совокупности объема N различны то : Д_r =1/N∑от i=1до n (х_i-x_r средняя)².Если же значения признака х_1,х₂…хn имеют соот.частоты N₁,N₂…N_k причем N₁+N₂….+N_k=N, то Д_r=1/n ∑от i=1до n (х_i-х_r)²*N_i.(7).Генер.сред.квад.отклонением наз. Корень квадратный из генер.Д_r:G_r=√Д_r.В случае непрерывного распред-я х предполагает Дr=Д(x)(8).Величина Ϭ(хсредняя) наз. Средней квад.ошибкой .Для того чтобы охарактер-ть рассеивание наблюдаемых значений колич.признака выборки вокруг своего среднего значения Хв среднее вводят след.хар-ку:Выбор дисперсий Дв наз.сред.ариф.квадратов отклонения наблюдаемых значений признака Х от Хв средняя.Если все значения х₁,х₂…х_n признака выборки объема и различны то Дв = 1/n∑от i=1 до n(x_i-x_в cредняя ) (9).Если же значения признака х₁,х₂…х_n имеют соот.частоты n₁,n₂..n_k причем n₁,n₂..n_k=n., то Дв=1/n∑от i=1 до n (x_i-x_в средняя)²*n_i (10).Выбор.сред.квадр.отклонением наз.квад.корень из выборочной дисперсии Ϭв=√Дв.Дв рассм.как СВ будем обозначать S²cредняя=1/n∑от i=1до n(х_i-xсредняя)².Теорема:М(х) выборочной дисперсии М(S² средняя) =n-1/n*Дr, если варианты хi > числа ,то (9)преобразуется к виду Дв=1/n ∑отi=1до n(х_i-c)²- (x_n средняя-c)²(11),где с-ложный нуль.Обозначим через Q-оцениваемые параметры Q средняя –оценка параметра.Для того чтобы оценка Q давала хорошее приближение она должна удовлетворять требованиям: 1)несмещенной наз.оценку Qn средняя ,М(х) которая = оцениваемому параметру Q т.е М(Qn средняя)=Q.

2)состоятельной наз.такую оценку Qn средняя параметра Q что для любого наперед заданного числа E>0 вер-ть P {│Qn средняя-Q│<E} при n→∞→1 это значит что оценка Qn средняя отличается от оцениваемого параметра Q < чем на E несмещенная оценка Qn средняя будет состоятельной если при n→∞ ее дисперсия →0.

Многоугольник распред-я полигон и гистограмм.Полигоном частот наз.ломанную отрезки которой соединяют точки (x₁ , х_n);(х₂, х_n)…(х_k,х_k), где х_i варианты выборки,ni- частоты.Полигоном относ.частот наз.-ломаннуюотрезки которой соединяют точки (х₁ , w₁);(х₂,w₂)…(x_k,w_k,где хi –варианты,w-частоты.Интервальный вариационный ряд графически изображают с помощью гистограммы ,для ее построения в прямоугольной системе координат на оси х откладывают отрезки частичных интервалов варьирования и на этих отрезках как на основаниях строят прямоугольник с высотами равными частотам или относительным частотам.