Симплексный метод
Симплексный метод явл-ся универсальным методом, которым можно решить любую задачу ЛП. Идея симплексного метода состоит в следующем:
используя систему ограничений, приводят задачу к каноническому виду путем введения добавочный неотрицательных переменных;
добавочные переменные взять в качестве остальных, выразить основные переменные через свободные, найти базисные решения; если полученное базисное решение будет положительным, то переходят к пункту 4, а если недопустимое – к пункту 3;
от полученного недопустимого базисного решения задачи переходят к допустимому или устанавливают, что система ограничений противоречива;
получив допустимое, базисное решение выражают через свободные переменные этого решения, а целевую функцию проверяют на критерий оптимальности. Если критерий оптимальности выполняется, то полученное базисное решение явл-ся оптимальным, и решение задачи окончено;
если критерий оптимальности не выполнен, подходят к новому базисному решению; из свободных переменных, входящих в целевую функцию положительную (если ищется максимум) и отрицательную (если минимум), выбирают ту, которой соответствует наибольший по модулю коэффициент и переводят его в базис;
чтобы решить какую из основных переменных следует перевести в свободные, составляют оценочные отношения (это отношения свободных членов уравнения к коэффициентам при переводе к переменной, причем те из уравнений, где эти коэффициенты отрицательны для уравнений), в которых эти коэффициенты положительны или равны 0, оценочные отношения полагают равные бесконечности. Из найденных отношений выбирают наименьшие, тем самым решая задачу: какая из основных переменных перейдет в свободные, соответствующее уравнение выбирают;
выражают новые основные переменные и целевую функцию через свободные переменные, начиная с выделенного уравнения;
повторяют пункты 5-7, пока не будет достигнут критерий оптимальности, после этого выписывают компоненты оптимального решения и находят оптимум целевой функции.
Критерий оптимальности при отыскании максимальной целевой функции: если на каждом шаге решения ЗЛП в выражение целевой функции все коэффициенты при свободных переменных отрицательны, то получено максимальное значение.
Критерий оптимальности при отыскании минимума целевой функции: если на каждом шаге решения ЗЛП в выражение целевой функции все коэффициенты при свободных переменных положительны, то получено минимальное значение.
Графический метод решения задач ЛП с n переменными
Графический метод
решения задач ЛП, записанные в каноническом
виде и удовлетворяющие условию n
– r
2, где n
– число неизвестных системы ограничений,
r
– ранг системы векторов-условий.
Если уравнения системы ограничений линейно независимы, то ранг r равен числу уравнений системы m/
Некоторые частные случаи
В решенных задачах с помощью симплексного метода система ограничений оказывается совместной и имеется конечных оптимум, причем единственный. Бывают случаи, когда эти условия нарушаются.
Единственность оптимального решения может нарушаться, это происходит в том случае, когда на каком-то шаге решения критерий оптимальности выполняется, а в выражение линейной формы отсутствует одна из основных переменных.
Если в каком-либо уравнение полученной системы и свободный член и коэффициенты при основных переменных отрицательны, то это явл-ся признаком того, что данная система несовместима, она не имеет ни одного решения, в том числе оптимального.