- •Предисловие
- •Признаки возрастания и убывания функций
- •Геометрический смысл условий монотонности.
- •Экстремумы функции
- •Г еометрический смысл необходимых и достаточных условий экстремумов
- •Правило для исследования функции на экстремум при помощи первой производной (первый способ)
- •Правило для исследования функции на экстремум по второй производной (второй способ)
- •Правило исследования функции на монотонность и экстремумы .
- •Проведем решение по второму правилу Исследуем функцию на экстремум с помощью второй производной.
- •Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба
- •Практическое правило нахождения точек перегиба и участков выпуклости и вогнутости функции
- •Асимптоты графика функции
- •Наклонные асимптоты
- •Горизонтальная асимптота (частный случай наклонной асимптоты )
- •7.3. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Промежутки знакопостоянства
- •Промежутки знакопостоянства
- •7.4. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач
- •Использованная литература
- •Содержание
7.3. Общая схема исследования функции и построения ее графика
Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика разлагается на следующие этапы решения задачи.
Элементарное исследование
Найти область определения функции.
Найти точки разрыва функции. Их характер. Вертикальные асимптоты.
Исследовать функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.
Определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с осями координат. Найти интервалы знакопостоянства.
Вычислить предельные значения функции в ее граничных точках.
Выяснить существование наклонных асимптот.
Исследование функции по первой производной
Найти решение уравнений .
Критические точки, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Найти интервалы монотонности функции.
Исследование функции по второй производной
Найти решение уравнений .
Критические точки исследовать с помощью достаточного условия. Вычислить значения функции в точках перегиба.
Найти интервалы выпуклости вниз и вверх графика функции.
Построить график функции.
Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом.
График функции лучше всего строить в таком порядке:
Построить все асимптоты, если они есть.
Нанести на график характерные точки: точки пересечения с осями координат, точки, в которых есть экстремум, точки перегиба.
Построение проводить в интервалах непрерывности с учетом проведенных исследований.
Пример 13. Провести полное исследование функции и построить ее график.
▲ Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.
I. Элементарное исследование
Область определения функции. . Точка разрыва: .
Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.
Функция общего вида.
. Функция не периодична.
Выясним существование асимптот. В точке функция имеет разрыв II рода, ибо,
; ,
в остальных точках она непрерывна. Прямая является вертикальной асимптотой.
Найдем наклонные асимптоты .
Слева .
Уравнение наклонной асимптоты слева .
Справа .
Уравнение наклонной асимптоты справа .
Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы знакопостоянства функции.
Точки пересечения с осью : .
Точки пересечения с осью : .
Промежутки знакопостоянства
|
|
–1 |
|
0 |
|
|
+ |
|
+ |
0 |
– |
II. Исследование графика функции по первой производной.
Для нахождения участков монотонности и экстремальных точек найдем первую производную функции:
.
к. т. I.
Область определения функции разобьем на интервалы и определим знак в каждом из них (для удобства вычислений в каждом интервале выбираем фиксированную точку). Результаты исследования знака производной на интервалах между критическими точками (с учетом ) с указанием поведения функции на этих интервалах занесем в таблицу:
|
|
–3 |
|
–1 |
|
0 |
|
|
– |
0 |
+ |
|
– |
0 |
– |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Так как функция в точке определена и непрерывна и при переходе через нее меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке минимум, причем .
III. Исследование графика функции по второй производной.
Для нахождения участков выпуклости вверх и вниз найдем вторую производную функции
к. т. II.
Область определения функции разобьем на интервалы и определим знак в каждом из них. Результат исследования знака функции на указанных интервалах с указанием выпуклости вверх и вниз запишем в таблицу:
|
|
–1 |
|
0 |
|
|
+ |
|
+ |
0 |
– |
|
|
|
|
|
|
При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, это точка перегиба функции, причем . Точка не является точкой перегиба.
Построение графика начнем с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремума, перегиба и фрагментов графика функции вблизи этих точек и асимптот.
В окончательном виде график изображен на следующем рисунке.
▼
Пример 14. Провести полное исследование функции и построить ее график.
▲ Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.
I. Элементарное исследование
Область определения функции. .
Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.
Функция общего вида.
. Функция не периодична.
Выясним существование асимптот.
Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.
Найдем наклонные асимптоты .
Слева .
,
.
Уравнение наклонной асимптоты слева .
Справа .
,
.
Уравнение наклонной асимптоты справа .
Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы знакопостоянства функции.
Точки пересечения с осью :
.
Точки пересечения с осью : .