Правило для исследования функции на экстремум по второй производной (второй способ)

Для того чтобы исследовать функцию на экстремум по второй производной, следует:

1. Найти область определения функции.

2. Найти – первую производную функции.

3. Определить критические точки первого рода.

4. Исследовать знак – второй производной функции – в каждой точке, найденной в пункте 3. Если окажется, что в рассматриваемой точке , то в этой точке будет минимум, а если , то в ней будет максимум. Если же окажется, что в рассматриваемой точке , то исследование надлежит провести по первому правилу.

Замечание. Отметим, что исследование знака первой производной слева и справа от критических точек совпадает с правилом нахождения промежутков монотонности функции. Это связано с тем, что точки экстремума и разрыва функции разделяют участки ее возрастания и убывания.

Правило исследования функции на монотонность и экстремумы .

1. Найти область определения функции.

2. Найти .

3. Определить критические точки первого рода и пронумеровать их в порядке возрастания.

4. Построить таблицу I:

	Интервалы монотонности и к. т. I
	и поведение в к. т. I
	Поведение функции на интервалах монотонности и ее значения в к. т. I

Пример 4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

▲ Проведем решение сначала по первому правилу

1. Областью существования функции является весь бесконечный интервал .

2. Находим, что .

3. Решаем уравнение , т. е. уравнение

. Производная конечна при любом (в этом случае говорят, что производная конечна всюду). Поэтому критическими точками будут только найденные выше.

4. Располагаем критические точки в порядке возрастания абсцисс: .

5. Рассмотрим интервалы

Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой производной по выражению .

В интервале возьмем, например, точку ;

в интервале возьмем точку ;

в интервале возьмем точку ;

в интервале возьмем точку .

6. Таким образом, в интервалах первая производная имеет такую последовательность знаков:

+	+	–	–

и мы приходим к заключению, что в критической точке имеет место максимум, а в критических точках экстремумов нет.

7. Найдем теперь локальный максимум функции .

Построим таблицу I.

		–1		0		1
	+	0	+	0	–	0	–
		Нет экстремума				Нет экстремума

Проведем решение по второму правилу Исследуем функцию на экстремум с помощью второй производной.

У нас критические точки уже определены: . Найдем вторую производную функции. Дифференцируя первую производную, получаем

,

и согласно второму правилу определяем знак второй производной в каждой критической точке:

; используем результат по первому правилу,

; функция имеет максимум;

; используем результат по первому правилу. ▼

Необходимо отметить, что исследование, проведенное по второму способу, было значительно проще. Однако от исследования функции на экстремум по первому правилу при помощи первой производной отказываться не следует, так как может оказаться, что в критической точке вторая производная окажется равной нулю (как в разобранном примере), а в этом случае нельзя сделать никакого заключения о наличие экстремума.

Пример 5. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

1. ▲ Так как знаменатель не должен обращаться в нуль, то .

2. Найдем производную:

.

3. Производная обращается в нуль в точке и не существует в точках . Точка не является критической, т. к. . Точки – критически е.

Располагаем критические точки в порядке возрастания абсцисс: .

4. Построим таблицу I:

		–2		0		4		▼
	–		–		+	0	–