- •3 Замена переменной в неопределенном интеграле
- •4Интегрирование по частям
- •5Определение интеграла и его свойства
- •Свойства интеграла
- •8Интегрирование рациональных дробей
- •6. Геометрические приложения определенного интеграла
- •9Интегрирование простейших дробей.
- •Интегрирование простейших дробей первого типа
- •10 Интегрирование иррациональных функций.
- •15 17Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия
- •2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •16Уравнения с разделяющимися переменными
- •18Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •[Править]Охлаждение тела
8Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной. Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов) неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби. Например, . Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида , а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом: Пример. Найти интеграл . Решение. Выделим целую часть данной неправильной дроби: . Разложим знаменатель на линейные множители по формуле: , где х1 и х2 – корни квадратного уравнения то есть . откуда получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа Решая ее, имеем: значит: ,
6. Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x), [f1(x)≤f2(x)] и прямыми х=а и х=b, находится по формуле П ример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y=–x2, y=–x–2. Решение. Сделаем чертеж. Найдем абсциссы точек пересечения данных линий: –x2=–x–2 или x2–x–2=0, x1=–1,x2=2. Значит, =–3+1,5+4+2=4,5. Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох; находится по формуле: . Длина кривой, заданной уравнением y=f(x), a ≤x≤b,выражается следующим образом:
9Интегрирование простейших дробей.
Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теорииразложение дроби на простейшие. Пример. Найти неопределенный интеграл . Решение. Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен: Поэтому, . Разложение полученной правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид . Следовательно, Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала. Так как , то . Поэтому Следовательно, Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.
Интегрирование простейших дробей первого типа
Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования: Пример. Найти множество первообразных функции Решение. Найдем неопределенный интеграл , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования .
10 Интегрирование иррациональных функций.
Класс иррациональных функций очень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может. В этой статье попытаемся выделить наиболее характерные виды иррациональных подынтегральных функций и поставить им в соответствие метод интегрирования.
Используя метод непосредственного интегрирования, достаточно просто находятся неопределенные интегралы вида , где p – рациональная дробь, k и b – действительные коэффициенты. Пример. Найти множество первообразных функции . Решение. Правило интегрирования и таблица первообразных сразу приводят нас к ответу: Ответ: . К началу страницы
Бывают случаи, когда уместно использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида , где p – рациональная дробь. Пример. Найти неопределенный интеграл . Решение. Не трудно заметить, что . Следовательно, подводим под знак дифференциала и используем таблицу первообразных: Ответ: . К началу страницы
Достаточно часто приходится иметь дело с неопределенными интегралами вида , где p и q – действительные коэффициенты. В этом случае выделяем полный квадрат под знаком корня: и используем формулу из таблицы неопределенных интегралов . То есть, Пример. Найти неопределенный интеграл . Решение. Для начала вынесем двойку из под знака радикала: В подкоренном выражении выделяем полный квадрат: Поэтому Ответ: . К началу страницы
Аналогично проводится интегрирование иррациональных функций вида . Пример. Найдите неопределенный интеграл . Решение. Выделим полный квадрат в выражении под знаком корня: Пришли к табличному интегралу , поэтому Ответ: . К началу страницы
Нахождение множества первообразных иррациональных функций , где M, N, p иq – действительные коэффициенты, очень схоже с интегрированием простейших дробей третьего типа: выполняется подведение под знак дифференциала, затем выделяется полный квадрат подкоренного выражения и применяются формулы из таблицы первообразных. Разберем пример для наглядности. Пример. Найти множество первообразных функции . Решение. Так как и , то Поэтому Ответ: . К началу страницы
Неопределенные интегралы иррациональных функций вида находятся методом подстановки. В зависимости от рациональных чисел m, n и p вводят следующие новые переменные:
Если p - целое число, то принимают , где N - общий знаменатель чисел m и n.
Если - целое число, то , где N - знаменатель числа p.
Если - целое число, то вводят новую переменную , где N - знаменатель числа p.
Пример. Найти неопределенный интеграл . Решение. То есть, m = -1, n = 1, . Так как - целое число, то вводим новую переменную (N = 2 – знаменатель числа p). Выражаем х через z: Выполняем подстановку в исходный интеграл: Ответ: . К началу страницы
11Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается . Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится. 2. ; следовательно, интеграл сходится и равен . Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b : и в пределах от до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c. Примеры: 3. . Интеграл сходится. 4. следовательно, интеграл сходится и равен . Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл (док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности , и от b не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).