- •3 Замена переменной в неопределенном интеграле
- •4Интегрирование по частям
- •5Определение интеграла и его свойства
- •Свойства интеграла
- •8Интегрирование рациональных дробей
- •6. Геометрические приложения определенного интеграла
- •9Интегрирование простейших дробей.
- •Интегрирование простейших дробей первого типа
- •10 Интегрирование иррациональных функций.
- •15 17Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия
- •2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •16Уравнения с разделяющимися переменными
- •18Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •[Править]Охлаждение тела
1Свойства первообразной и неопределенного интеграла.Определение первообразной. Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка. Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. Определение неопределенного интеграла. Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается . Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называетсянеопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функцияF(x), а множество ее первообразных F(x)+C. На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения. Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств: Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах. Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.
Рассмотрим пример. Пример. Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1. Решение. Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид . Пример. Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием. Решение. По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому Из таблицы производных для тригонометрических функций имеем То есть, По третьему свойству неопределенного интеграла можем записать Обращаясь ко второму свойству, получим . Следовательно, Проверка. Для проверки результата продифференцируем полученное выражение: В итоге получили подынтегральную функцию, значит, интегрирование выполнено правильно. В последнем переходе была использована формула синуса двойного угла. Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.
3 Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) , где – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае: ; б) , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: . Примеры. 1. Найти интеграл . Решение. Перепишем данный интеграл в виде . Так как производная выражения равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку . Тогда . Следовательно, . 2. Найти интеграл . Решение. , тогда и .
4Интегрирование по частям
Нахождение интеграла по формуле называется интегрированием по частям. ЗдесьU=U(х),υ=υ( x) непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Так например, для интегралов вида , , , где P(x) – многочлен, за υ следует принятьP(x), а за dU соответствует выражение , . Для интегралов вида за υ принимаются соответственно функции , а за – выражение P(x)dx. Пример. Найти интеграл . Решение. Положим , тогда . Отсюда
5Определение интеграла и его свойства
Определение. Пусть . Пусть , аддитивна, и ее плотность равна . Тогда называется интегралом.
Обозначение. Пусть . Значение функции на отрезке :
Теорема (Ньютон, Лейбниц). Пусть , – первообразная функции . Тогда
Доказательство. По теореме о плотности аддитивной функции промежутка, и равна плотности функции . По определению тогда – интеграл функции .
Свойства интеграла
1.
2. .
Доказательство. Пусть - первообразная , – первообразная . Тогда – первообразная .
3. .
4. Пусть функция , дифференцируема. Пусть функция задана на промежутке, содержащем множество значений функции , причем . Пусть у функции есть первообразная. Тогда
Доказательство. Пусть – первообразная функции . Тогда
Следствие. Пусть . Тогда
Доказательство. Положим , применим предыдущую теорему:
5. Пусть , функции и дифференцируемы, функция имеет первообразную. Тогда
Доказательство.
Функции и имеют первообразные, поэтому и функция также имеет первообразную, и можем записать
Определение. Пусть , , . Тогда
Задача 1. Пусть . Докажите, что
7
Производная интеграла с переменным верхним пределом |
Если в определенном интеграле изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела. Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: . Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом: Доказательство. По определению производной где [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]= [по теореме о среднем]= где Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при . Таким образом, Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции . |