- •Гринева Наталья Владимировна
- •Сборник задач по дисциплине
- •Определения. Классификация
- •Антагонистические матричные игры с нулевой суммой
- •Антагонистические матричные игры с нулевой суммой, имеющие решение в чистых стратегиях.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Антагонистические матричные игры с нулевой суммой имеющие решение в смешанных стратегиях.
- •Решение игр Решение игры 2х2
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Принцип доминирования
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Графическое решение игр 2xm или nx2.
- •Решение игры в общем виде. Сведение задачи по теории игр к паре взаимодвойственных задач линейного программирования
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Принятие решений в условиях неопределенности. Игры с природой.
- •4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа
- •5. Критерий Ходжа-Лемана
- •6. Критерий Гермейера
- •7. Bl (mm) - критерий
- •8. Критерий произведений
- •9. Критерий Лапласа
- •Задачи для самостоятельной работы.
- •Рекомендуемая литература
Решение игры в общем виде. Сведение задачи по теории игр к паре взаимодвойственных задач линейного программирования
Если игра т х п не имеет оптимального решения непосредственно в чистых стратегиях, то оптимальное решение необходимо искать в области смешанных стратегий. Игрок А обладает стратегиями А1, А2,…, Аm, а игрок В – стратегиями B1, B2,…, Bn. Необходимо определить оптимальные стратегии и , где - вероятности применения соответствующих чистых стратегий Аi, Bj. При этом и .
Если игрок А применяет смешанную стратегию против любой чистой стратегии Вj игрока В, то он получает средний выигрыш (математическое ожидание выигрыша):
Для оптимальной стратегии все средние выигрыши не меньше выигрыша игры v, поэтому получаем систему неравенств:
a 11p1+ a21p2+…+ am1pm ≥ v
a12p1+ a22p2+…+ am2pm ≥ v
………………………………
a1np1+ a2np2+…+ amnpm ≥ v
Если каждое неравенство разделить на число v>0 (v>0 можно добиться, сделав все элементы aij ≥ 0) и введя новые переменные:
x1=p1/v, x2=p2/v, …., xm=pm/v
предыдущая система примет вид:
a 11x1+ a21x2+…+ am1xm ≥ 1
a12x1+ a22x2+…+ am2xm ≥ 1
………………………………
a1nx1+ a2nx2+…+ amnxm ≥ 1
Если нормировочное условие, выраженное равенством p1+ p2+…+ pm =1 разделить также на v, то получим, что переменные x1+x2+…+xm=1/v. В силу того, что цель игрока А максимизировать свой выигрыш, т.е. максимизировать цену игры v, максимизация цены игры v эквивалентна минимизации величины 1/v. Поэтому задача в терминах линейного программирования может быть сформулирована следующим образом:
Найти минимум целевой функции Z = x1+x2+…+ xm при ограничениях. Тем самым получаем задачу линейного программирования, решая которую получим оптимальную стратегию и цену игры v=1/Z.
Для определения оптимальной стратегии игрока В следует учесть, что игрок стремится минимизировать гарантированный выигрыш, т.е. найти max 1/v. Переменные q1, q2,…, qn удовлетворяют неравенствам
a 11q1+ a12q2+…+ a1nqn ≤ v
a21q1+ a22q2+…+ a2nqn ≤ v
………………………………
am1q1+ am2q2+…+ amnqn ≤ v
Если также как и в предыдущем случае ввести новые переменные:
y1=q1/v, y2=q2/v, …., yn=qn/v,
то предыдущая система примет вид:
a 11y1+ a12y2+…+ a1nyn ≤ 1
a21y1+ a22y2+…+ a2nyn ≤ 1
……………………………
am1y1+ am2y2+…+ amnyn ≤ 1,
а задача сводится к задаче линейного программирования, в которой надо найти максимум целевой функции Z’ = y1+y2+…+ yn при заданных системой ограничениях.
Решение задачи линейного программирования определяет оптимальную стратегию . При этом цена игры
v = 1/max Z' = 1/min Z.
Пример . Найти решение игры со следующей платежной матрицей:
С=
Так как матрица не имеет седловой точки, то ее решение будем искать в смешанных стратегиях. Математические модели будут состоять из пары двойственных задач линейного программирования. Первая задача на нахождение минимума функции F(x) = x1+ x2+ x3
П ри следующих ограничениях:
2x1+4x2+ x3 ≥ 1
3x1+2x2+3x3 ≥ 1
x1+2x2+4x3 ≥ 1
xi ≥ 0, i=1,3
где , i=1,3
Вторая задача будет на нахождение максимума функции Z(y)=y1+y2+y3
При следующих ограничениях:
2y1+3y2+ y3 ≤ 1
4y1+2y2+ 2y3 ≤ 1
y1+3y2+ 4y3 ≤ 1
yi ≥ 0, i=1,3
где , i=1,3
Решение задач может быть выполнено симплекс-методом.