- •050100 – Педагогическое образование
- •Цель дисциплины.
- •Место дисциплины в структуре ооп:
- •3. Требования к результатам освоения этой дисциплины
- •3.2. Матрица соотнесения разделов учебной дисциплины и формируемых компетенций
- •4. Объем дисциплины
- •4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Распределение часов по темам и видам учебной работы
- •5. Содержание дисциплины
- •5.1. Содержание разделов дисциплины
- •5.2. Содержание семинарских и практических занятий
- •7. Структура и содержание самостоятельной работы студентов
- •План-график самостоятельной работы
- •Структура и трудоемкость самостоятельной работы студентов
- •7.3. Тематика рефератов/курсовых работ и методические рекомендации по их выполнению
- •1. Творцы теории алгоритмов.
- •2. Алгоритмы поиска.
- •3. Неразрешимость логики первого порядка.
- •4. Нестандартные модели арифметики.
- •5. Метод диагонализации в математической логике.
- •6. Машины Тьюринга и невычислимые функции.
- •7. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции.
- •8. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты математической логики.
- •9. Разрешимость арифметики сложения.
- •10. Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики.
- •Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории.
- •12. Логическая игра.
- •13. Логика второго порядка и определимость в арифметике.
- •14. Интерполяционная лемма Крейга и ее приложения.
- •7.4. Примерные контрольные и самостоятельные работы по дисциплине
- •Постройте комбинационную схему, реализующую функцию
- •8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
- •8.1. Основная литература
- •8.2. Дополнительная литература
- •8.4. Электронные материалы
- •1. Сайт профессора кафедры математической логики и теории алгоритмов мгу им. Ломоносова Пентуса м.Р.:
- •9. Содержание и порядок проведения входного и текущего контроля, промежуточной аттестации
- •9.1. Содержание и формы проведения входного контроля
- •Содержание и формы текущего контроля знаний
- •9.3. Содержание и формы промежуточной аттестации
8. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты математической логики.
Главными отрицательными результатами теории алгоритмов являются теорема Черча о неразрешимости, теорема Тарского о неопределимости истинности и первая теорема Геделя о неполноте систем арифметики. Цель данной работы – изучить доказательства этих теорем с помощью представления рекурсивных функций в специальном расширении арифметики.
Рекомендуется следующий план работы:
1. Разобрать такие основополагающие понятия теории алгоритмов,
как язык арифметики и рекурсивная функция (/1/, с. 103-108, 141-145).
2. Рассмотреть понятие представимости функций в теории и доказать
представимость рекурсивных функций в специальном непротиворечивом расширении Q арифметики (/1/, с. 212-226).
3. Рассмотреть понятие геделевой нумерации и доказать главные
отрицательные результаты теории алгоритмов (/1/, с. 228-240).
4. Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книги /1/ и решить задачи 14.1-14.2 из упражнения на стр. 226-227 и задачи 15.1-15.4 из упражнения на стр. 240 в книге /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы:
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. – М.: Мир, 1994.
9. Разрешимость арифметики сложения.
Проблема разрешимости теорий имеет принципиальное значение для элементарно аксиоматизируемых математических теорий и, в частности, для арифметики. Цель данной работы – проанализировать эту проблему для арифметики с различными основными операциями.
Рекомендуется следующий план работы:
1. Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как геделева нумерация и разрешимое множество (/1/, с. 228-233, /2/, с.151-152).
2. Доказать неразрешимость арифметики со сложением и умножением (/1/, с. 234-236).
3. Доказать разрешимость арифметики со сложением, без умножения (/1/, с. 290-299).
4. Разобрать решения всех примеров из цитированных разделов книг /1/,/2/ и решить задачи 1-3 из упражнения на стр. 152 в книге /2/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы:
1. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. – М.: Мир, 1994.
10. Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики.
Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики по праву считается одним из наиболее замечательных достижений математической логики и теории алгоритмов, поскольку в своей семантической формулировке устанавливает невозможность доказательства любого истинного утверждения этих формальной теории. Цель данной работы - изучить основы формальной арифметики и разобрать доказательство семантической формулировки теоремы Геделя о ее неполноте.
Рекомендуется следующий план работы:
1. Изучить постановку задачи о неполноте формальной арифметики (/1/,с. 7-11).
2. Рассмотреть начальные понятия теории алгоритмов и примеры их
применения (/1/, с. 12-21).
3. Доказать простейшие критерии неполноты (/1/, с. 21-25).
4. Изучить основы формальной арифметики и доказать семантическую формулировку теоремы Геделя о ее неполноте (/1/, с. 25-42).
5. Разобрать все примеры и восстановить все пропущенные доказательства в брошюре /1/.
Литература, рекомендуемая для изучения темы:
1. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. – М.: Наука, 1982.