- •Часть II. Аффинное пространство.
- •Содержание.
- •Глава 5. Группы преобразований
- •§2. Аффинное преобразование.
- •§3. Группа преобразований.
- •§4. Группа преобразований плоскости Минковского.
- •Глава 6. Аффинное и евклидово пространство
- •§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
- •§2. Базис и координаты в векторном пространстве.
- •§3. Евклидово векторное пространство.
- •§4. Аффинное и евклидово точечное пространство.
- •§5. Краткий обзор геометрии пространства a4.
- •Глава 8. Теория кривых
- •§1. Вектор-функция скалярного аргумента;
- •§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая. З амена параметра.
- •§3. Касательная прямая. Нормальная
- •§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль.
- •§5. Длина кривой. Натуральный параметр.
- •§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
- •Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметрoм, то
- •Теорема 6. Регулярная кривая класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой , то
- •В процессе доказательства теоремы 6 мы выяснили, что
Глава 6. Аффинное и евклидово пространство
Что такое геометрическое трехмерное пространство мы можем себе представить наглядно. Что такое четырехмерное пространство представить себе трудно: в окружающей нас повседневной реальности оно не существует. В этой главе мы дадим аксиоматическое определение пространства произвольной размерности и рассмотрим некоторые факты из геометрии четырехмерного пространства.
В параграфах 1, 2, 3 мы коротко напомним материал из курса алгебры.
§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
Определение. Пусть L – произвольное множество, для элементов которого заданы две операции: сложение элементов и умножение элемента на число, так что x, y, z L и , R выполнено x + y L , x L , и имеют место следующие аксиомы.
А1. x + y = y + x (коммутативность сложения);
A2. (x + y) + z = x +(y + z) (ассоциативность сложения);
A3. o L такой что x + o = x (существование нулевого элемента);
A4. (–x) L такой что x + (–x) = o (существование противоположного элемента);
A 5. (x + y) = x + y
A6. ( + )x = x+ x
A7. ()x = (x) ;
A8. 1·x = x .
Тогда L вместе с этими операциями называется линейным или векторным пространством, а его элементы – векторами.
Примеры. 1. Пространство V2, состоящее из всех векторов на плоскости или V3, состоящее из всех векторов геометрического пространства. Тогда А1 – A8 представляют собой свойства операций над векторами, которые мы доказывали в главе 1.
2. Арифметическое пространство R3, элементами которого являются тройки чисел. Мы будем записывать эти тройки в виде столбца:
x1
R3= x2 x1, x2, x3 R
x3
Операции определяются следующим образом. Если
x1 y1
X = x2 Y = y2
x3 y3
то
x1+ y1 x1
X +Y = x2 + y2 X = x2
x3 + y3 x3
Проверим, что в данном пространстве выполняются аксиомы А1 – А8.
Проверим, например, А5.
x1+ y1 x1+ y1 x1 y1
(X +Y ) = x2 + y2 = x2 + y2 = x2 + y2 = X +Y.
x3 + y3 x3 + y3 x3 y3
Роль нулевого элемента и элемента, противоположного к X очевидно, играют
0 – x1
O = 0 – X = – x2 ,
0 – x3
т.е выполнены А3 и А4.
Аналогично определяется пространство Rn состоящее из столбцов высоты n .
Упражнение. Проверьте самостоятельно, что выполняются остальные аксиомы.
3. Пространство Pn состоит из всех многочленов с действительными коэффициентами, степени не превосходящей n:
Pn = {ao+ a1t + a2t2 +…+ ant n | ao, a1,…, anR}
4. Пространство Co([0,1]) состоит из всех функций, непрерывных на отрезке [0,1].
Можно привести ещё массу примеров. Главное – уяснить себе, что векторное пространство может состоять из совершенно любых математических объектов, которые можно складывать и умножать на число, если, конечно, выполняются А1 – А8. При изучении дальнейшего материала, для простоты восприятия, можно представлять себе, что речь идет о векторах.
Из аксиом А1 – А8 можно вывести следующие следствия:
1), 2) единственность нулевого и противоположного элементов;
3) 0·x = o ; 4) –1·x = –x ; 5) ·o = o xL и R.
Определение. Пусть x1, x2,…, xnL – произвольные векторы, а 1, 2,…, n – произвольные числа. Тогда выражение
1x1+ 2x2 +…+ nxn (1)
называется линейной комбинацией векторов x1, x2,…, xn. Числа 1, 2,…, n называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация (1) называется тривиальной, если 1= 2 =…= n = 0. Соответственно, (1) называется нетривиальной, если среди 1, 2,…, n есть хотя бы одно ненулевое число.
Определение. Векторы x1, x2,…, xn называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору:
1x1+ 2x2 +…+ nxn = o. (2)
Соответственно x1, x2,…, xn называются линейно независимыми, если равенство (2) возможно только для тривиальной комбинации векторов.
Примеры. 1. Векторы i, j, k в пространстве V3 линейно независимы, а векторы a1=i+j, a2=i+j+k, a3=k линейно зависимы, т.к. 1·a1+(–1)·a2+1·a3 =o.
2. В пространстве R3 столбцы
1 0 0
E1 = 0 , E2 = 1 , E3 = 0
0 0 1
линейно независимы. Действительно,
1 0
1E1+ 2E2 +3E3 = O 2 = 0 1= 2 =…= n = 0.
3 0
x1
Если к ним добавить произвольный столбец X = x2 , то получим
x3
линейно зависимую систему столбцов {E1, E2, E3, X}, т.к.
1·E1+ 1·E2 +1·E3 + (–1)·X = O.
3. В пространстве Pn многочлены 1, t, t2,…, t n линейно независимы. Если к ним добавить любой многочлен f(t) степени n, то получим линейно зависимую систему.
Упражнение. Самостоятельно покажите, что функции f(t)1, g(t) = cos t, h(t) = sin 2t в пространстве Co([0,1]) линейно зависимы.
Предложение 1. Векторы x1, x2,…, xk, k>1, линейно зависимы, тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.
Действительно, пусть векторы x1, x2,…, xk линейно зависимы, и
1x1+ 2x2 +…+ kxk = o,
где, например, k0. Тогда
xk = x1+ x2 +…+ x k–1,
т.е. xk является линейной комбинацией x1, x2,…, xk–1.
Обратно, если xk = 1x1+ 2x2 +…+ k–1x k–1, то
1x1+ 2x2 +…+ k–1x k–1+ (–1)xk = o,
и комбинация нетривиальная, т.к. –10.
Предложение 2. Если среди векторов x1, x2,…, xk есть нулевой, то эти векторы линейно зависимы.
Действительно, если, например, xk = o, то
0·x1+ …+ 0·x k–1+ 1·xk = o,
и комбинация нетривиальная, т.к. 10.