- •Часть II. Аффинное пространство.
- •Содержание.
- •Глава 5. Группы преобразований
- •§2. Аффинное преобразование.
- •§3. Группа преобразований.
- •§4. Группа преобразований плоскости Минковского.
- •Глава 6. Аффинное и евклидово пространство
- •§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
- •§2. Базис и координаты в векторном пространстве.
- •§3. Евклидово векторное пространство.
- •§4. Аффинное и евклидово точечное пространство.
- •§5. Краткий обзор геометрии пространства a4.
- •Глава 8. Теория кривых
- •§1. Вектор-функция скалярного аргумента;
- •§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая. З амена параметра.
- •§3. Касательная прямая. Нормальная
- •§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль.
- •§5. Длина кривой. Натуральный параметр.
- •§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
- •Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметрoм, то
- •Теорема 6. Регулярная кривая класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой , то
- •В процессе доказательства теоремы 6 мы выяснили, что
Глава 5. Группы преобразований
§1. Движение и подобие на плоскости.
Определение. Преобразованием множества M называется биекция f : M – M (т.е. взаимнооднозначное отображение множества M на себя).
Определение. Пусть – это плоскость. Преобразование f : – называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками; т.е. если A= f (A), B = f (B), то |AB | = |AB| .
В школе вы изучали следующие виды движений.
1) параллельный перенос; 2) поворот; 3) симметрия относительно прямой (центральная симметрия – это поворот на 180).
1. Произвольный параллельный перенос p1: – задается вектором a;\s\up8(–((a1, a2). Eсли A= p1(A), то AA(;\s\up10( –(= a;\s\up8(–( . Формулы параллельного переноса:
(1)
y= y + a2 .
Они означают, что точка A(x, y) переходит в точку A(x, y), координаты которой вычисляются по данным формулам.
Если p2: – – другой перенос, который задается вектором b;\s\up9(–((b1, b2), и A= p2(A), то
y= y + b2 . y= y + (a2+ b2) .
Значит композиция (т.е. последовательное выполнение) параллельных переносов p2 p1: – задается вектором a;\s\up8(–( + b;\s\up9(–( . Кроме того, очевидно, что p2 p1= p1 p2 , т.е. p2(p1(A)) = p1(p2(A)) для любой точки A на плоскости. Говорят, что p1 и p2 коммутируют между собой.
Обратное преобразование p1–1 : – , очевидно, задается вектором – a;\s\up8(–( , а тождественное преобразование плоскости id : – тоже представляет собой параллельный перенос, который задается нулевым вектором.
2. Поворот на угол вокруг начала координат h : – действует по формулам
(2)
y= xsin + ycos .
Эти формулы можно переписать в матричном виде:
(2)
где
X = Combin , X= Combin , H = sin ( cos (;\s\up10 (cos ( – sin ( .
Если h : – – поворот на угол , то очевидно, что h h = h h = = h+ .
Упражнение. Самостоятельно убедитесь, что H+ = H ·H = = H ·H.
Таким образом, при последовательном выполнении поворотов их матрицы перемножаются. Мы также видим, что два поворота коммутируют между собой. А, вот, поворот и параллельный перенос не коммутируют.
Е сли = 0, то H = E = 0 1;\s\up10 (1 0 . Очевидно, что обратный поворот – это поворот на угол – , т.е. (h)–1= h– . Он задается матрицей
H– = –sin ( cos (;\s\up10 ( cos ( sin ( .
Упражнение. Самостоятельно убедитесь, что H– ·H = E, т.е. H–=(H)–1. Это значит, что обратный поворот задается обратной матрицей.
3. Симметрия s1 относительно оси Ox задается формулами
(3)
y= – y .
В
(3)
X= S1X ,
где
S1 = 0 –1;\s\up10 (1 0 .
Аналогично, симметрия относительно Oy задается матрицей
S1 = 0 –1;\s\up10 (1 0 .
Из школьной программы вы знаете, что любое движение плоскости является композицией параллельного переноса, поворота и осевой симметрии.
4. Определение. Преобразование g : – называется подобием, если A, B и для A= g(A), B= g(B) выполнено |AB| = k|AB| , где k = const > 0. Тогда k называется коэффициентом подобия.
Гомотетией с центром в начале координат называется подобие gk : – , которое действует по формулам:
(4)
y= ky .
На следующих рисунках показано, как строится ABC гомотетичный данному ABC с коэффициентами 2 и –2.
Произвольное подобие является композицией гомотетии и движения. Формулы (4) можно записать в матричном виде так:
(4)
где
k = 0 k;\s\up10 (k 0 .
Очевидно, что gl gk = gk gl = gkl и l k = k l = kl , т.е. две гомотетии с центром в начале координат коммутируют, и композиции гомотетий соответствует произведение их матриц.
Тождественное преобразование представляет собой гомотетию с k = 1. Преобразованием, обратным к gk является g1/k .
Замечание. Удобно использовать обозначение
= 0 e(;\s\up10 (e( 0 .
Тогда
= 0 e(;\s\up10 (e( 0 0 e(;\s\up10 (e( 0. = 0 e(+(;\s\up10 (e(+( 0 = + .
Также –1 = – . Поэтому g g = g g = g+ , g–1 = g– . Но таким образом можно задать только гомотетию с положительным коэффициентом. Для того, чтобы получить гомотетию с отрицательным коэффициентом необходимо добавить еще центральную симметрию, т.е. поворот на 180.
Легко проверить, что при последовательном выполнении поворота, симметрии и гомотетии, оставляющих неподвижными начало координат, их матрицы перемножаются. Например, gk s1 h задается матрицей k S1 H . Это же верно и при выполнении данных преобразований в любом другом порядке.