- •Часть II. Аффинное пространство.
- •Содержание.
- •Глава 5. Группы преобразований
- •§2. Аффинное преобразование.
- •§3. Группа преобразований.
- •§4. Группа преобразований плоскости Минковского.
- •Глава 6. Аффинное и евклидово пространство
- •§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
- •§2. Базис и координаты в векторном пространстве.
- •§3. Евклидово векторное пространство.
- •§4. Аффинное и евклидово точечное пространство.
- •§5. Краткий обзор геометрии пространства a4.
- •Глава 8. Теория кривых
- •§1. Вектор-функция скалярного аргумента;
- •§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая. З амена параметра.
- •§3. Касательная прямая. Нормальная
- •§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль.
- •§5. Длина кривой. Натуральный параметр.
- •§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
- •Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметрoм, то
- •Теорема 6. Регулярная кривая класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой , то
- •В процессе доказательства теоремы 6 мы выяснили, что
§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая. З амена параметра.
Пусть – обычное геометрическое пространство или плоскость. Тогда является точечным евклидовым пространством. Мы будем вести речь про пространство, но всё сказанное ниже с незначительными изменениями верно и для случая, когда – плоскость. Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz. Мы будем отождествлять произвольную точку M и её радиус-вектор OM;\s\up10( –(.
Определение. Путем называется непрерывное отображение c: I – , где I – некоторый интервал числовой прямой.
В силу нашей договоренности об отождествлении, можно сказать, что путь – это непрерывная вектор-функция. Подчеркнем, что путь – это отображение. А, вот, кривая – это множество в пространстве.
Определение. Пусть c: I – – путь. Тогда его образ – множество = c(I) в пространстве называется кривой. Bектор-функция c(t) называется параметризацией кривой . Запись
x = c1(t),
y = c2(t),
z = c3(t), t I,
называется параметрическими уравнениями кривой . Если использовать обозначение r;\s\up8(–( – это вектор с текущими координатами (x, y, z), то параметрические уравнения можно записать в виде одного векторного равенства r;\s\up8(–( = c(t).
Замечание. При таком определении кривая может выглядеть совсем непохоже на интуитивное представление о кривой. Например, кривая Пеано проходит через каждую точку квадрата, и поэтому она имеет ненулевую площадь. Такой пример рассматривается в рамках спецкурса по топологии. Поэтому один из вариантов определения заключается в следующем. Кривой называется множество в пространстве или на плоскости, гомеоморфное открытому интервалу числовой прямой. Тогда гомеоморфизм c: I –
называется параметризацией кривой . Но при таком определении мы отбрасываем кривые с самопересечениями и даже окружность. Поэтому это определение тоже несовершенно. Это говорит о том, что понятие кривой, на самом деле, не такое простое.
Определение. Кривая называется гладкой класса Cn(регулярной) если у нее существует гладкая класса Cn(регулярная) параметризация. Термин «гладкий» является синонимом термина «дифференцируемый».
В ы привыкли, что если функция дифференцируема, то ее график не имеет изломов. Но кривая, определяемая вектор-функцией не является ее графиком.
Пример 1. Путь c(t) = (t2, t3), t R определяет на плоскости кривую, которая называется полукубической параболой. Этот путь гладкий класса C(R). Имеем c(t) = (2t, 3t2) и c(0) = o;\s\up8(–( , т.е. данный путь
не является регулярным. Причем, регулярность нарушается как раз в той точке, где кривая имеет излом.
Из теоремы 1 (следующий параграф) следует, что гладкая класса C1 регулярная кривая не имеет изломов.
Определение. Путь c называется простым, если c – взаимнооднозначное отображение.
Простой путь задает кривую без самопересечений: при движении по кривой мы проходим каждую точку ровно один раз. Путь из примера 1 является простым.
П ример 2. Путь c(t) = (a cos t, a sin t ), t R определяет на плоскости окружность радиуса a с центром в начале координат. Этот путь не является простым: в процессе изменения параметра мы «проходим» через каждую точку окружности бесконечное количество раз.
Пример 3. Одна и та же кривая может задаваться разными параметрическими уравнениями. Например, верхняя половина полукубической параболы может быть задана следующими уравнениями.
x = t2, x = e2,
y = t3, t (0, + ) y = e3, R
Ясно, что вторая система получается из первой с помощью замены t = e, R . Обозначим () = e ; тогда – это отображение : R – (0, + ). Отсюда возникает понятие «замена параметра».
Пусть c: I – – путь, задающий кривую , а I1 R – другой интервал числовой прямой. Пусть : I1 – I ,– непрерывное отображение, t = (u). Рассмотрим композицию отображений d = c: I1– , d(u)= c((u)). Это будет другой путь, но его образ
d(I1) – та же самая кривая . Говорят, что отображение осуществляет замену параметра кривой.
Определение. Замена параметра : I1 – I называется допустимой, если – дифференцируемая функция и (u) 0 u I1.
Пусть c – регулярный путь. Тогда
d(u)= c((u)) = (u)c(t).
Мы видим, что путь d(u) является регулярным тогда и только тогда, когда замена параметра является допустимой.
Определение. Регулярные пути c: I – и d: I1– называются эквивалентными, если существует такая допустимая замена параметра : I1 – I , t = (u), что d = c. Иногда говорят, что регулярная кривая – это класс эквивалентных друг другу регулярных путей.
Можно сказать, что эквивалентные пути имеют одинаковую траекторию, но проходят ее за различные промежутки времени и с разной скоростью.
Например, замена параметра t = e, является допустимой, и поэтому пути c(t) = (t2, t3), t (0, + ) и d() = (e2, e3), R являются эквивалентными.
Упражнения. 1. Является ли регулярным путь (a cos3t, a sin3t), tR ?
2. Является ли допустимой замена параметра t = , u R ? В какой интервал она переводит числовую прямую?