2.Несимметричные двойственные задачи

Запишем задачу линейного программирования на max в каноническом виде.

Max Z= c _j x _j

a _ij x _j =b _i

Для записи двойственной задачи представим ограничения равенства в виде системы равносильных неравенств.

a _ij x _j <=b _I a _ij x _j =>b _I ,умножим на(-

1)получим задачу в симметричной форме. Max Z= c _j x _j

a _ij x _j <=b _I

(-a _ij )x _j <= -b _I

Введем двойственные переменные Y’_i ,Y” _i , тогда двойственная задача примет следующий вид:

Min f= b_i ( Y’_i -Y” _i )

a _ij ( Y’_i -Y” _i )=>c _j

Y’_I =>0

Y” _i =>0

Введем ( Y’_i -Y” _i )=Y _i

Min f=∑b_i Y _i

a _ij Y _i =>c _j

Y’_I и Y” _i , были введены для каждой системы ограничений. Получается, что Y _i может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Таким образом эта модель представляет собой пару несимметричных двойственных задач. Так же формируется двойственная задача в случае, когда в ограничении исходной задачи входят как неравенства, так и равенства.

Max Z= c j x j a ij x j <=b I (i=1,…,m) a ij x j =b i (i= M1+1…,m) x j =>0 (j=1,..n1) x j ( J=n1+1)

Min f= b i x i a ij Y i => c j a ij Y i = c j(j= n1+1,…,n) Y i=>0 (i=1,….,1m 1)

При этом выполняется ряд правил:

1.Если на переменную x_j прямой задачи накладывается условие неотрицательности, то j – условие системы ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств и наоборот .

2.Если на переменную x_j прямой задачи не наложено условие неотрицательности, то j – ограничение двойственной задачи запишется в виде строгого равенства.

3.Если в прямой задаче имеются ограничения равенства, то на соответствующие переменные двойственной задачи не налагаются условия неотрицательности.

Теоремы:

1.Для любых допустимых планов x = ( x₁,…,x _n ) и y = ( y₁,…y _m ) прямой и двойственной задач линейного программирования справедливо неравенство:

Z(x)<=f(x)

c _j x _j <= b _i y _i

2.Критерий оптимальности Канторовича. Если для некоторых дополнительных планов x* и y* пары двойственных задач выполняется равенство Z(x*)=f(y*) , то x* и y* являются оптимальными планами соответствующих задач.

3.Малая теорема двойственности. Для существования оптимального плана любой из пары двойственных задач необходимо и достаточно существование допустимого плана для каждой из них.

4.Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение , то и другая имеет оптимальное решение. Причем экстремальные значения целевых функций должны быть равны. Если одна из двойственных задач не разрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений , то система ограничений другой задачи противоречива.

5.Теорема о допускающей нежесткости. Для того , чтобы планы x* и y* пары двойственной задачи были оптимальны, необходимо и достаточно выполнение условий :

X^*_j ( a _ij y _j ^* - c _j ) =0 j=1,….,n

Y _i^*( a _ij x^*_j - b _i ) =0 i=1,….,m