Лекция 2 Линейное программирование.

По типу решаемых задач методы линейного программирование разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных могут решаться любые задачи линейного программирования. Специальные методы учитывают особенности модели задач, ее целевой функции и системы ограничений. Особенность задач линейного программирования является то, что целевая функция достигает экстремального значения на границе. Области дополнительных решений.

Задачи о наилучшем использовании ресурсов.

Пусть некоторая производительная единица может выпускать n-разных видов продукции ( j=1,..,n ). Пj – виды. Предприятия при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий и др. производственных факторов.

Ингредиенты– R_i, где i=1,..,m.Где m– это количество ингредиентов. b₁,b₂…,b _m –количество условных единиц, ограничивающих фактор или ресурс. b=(b₁,b₂,..,b _m) –это вектор ресурса. Пусть известна экономическая выгода производства продукции каждого вида (цена реализации c=c₁,c₂,..,c _n) –это вектор c. Известны технологические коэффициенты, обозначившие за a_ij,которые указывают сколько единиц i–ресурса потребуется для производства единиц продукции j-вида Технологическая матрица..

Введем вектор х - это план производства. х=( x₁...x_n). Показывает какие виды товаров p₁,p₂,p _n необходимо производить предприятию и в каких количествах, чтобы обеспечить максимальный объем реализации при имеющихся ресурсов.

Z=(x₁c₁)+(x₂c₂)+x _n c _n .

B_i => a_i1x₁+a_i2x₂+a _ij x_n .

X_i =>0

a _ij x _j <= b_i .

Задачи о выборе оптимальных технологий.

Пусть при производстве какого-либо продукта используется n-технологий, при этом требуется m-видов ресурсов, заданных объемом b_i(1;n).Эффективность технологий определяет количество конечной продукции (руб.), производимой в единицу времени по j технологии(1;n).Обозначим эффективность c_j .Коэффициент a_ij – расход i-ресурса в единицу времени по j-технологии. х_j – интенсивность используется j-технологии, т.е. это время, в течение которого продукты производятся по j-технологии. Необходимо найти план интенсивностей использования технологий, обеспечивающий максимум выпуска продукции в стоимостном выражении.

Max Z= c _j x _j

B _i =>a _ij x _j

x _j =>0

Задача о диете.

Имеется n-пищевых продуктов, они содержат питательные вещества, обозначаемые 1,2,3,..,m. Единица j–продукта содержит a _ij единиц i–питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности в заданный промежуток времени необходимо потреблять не менее b_i единиц i – питательного вещества. c_j –стоимость единицы продукта j– вида. Требуется выбрать рацион минимальной стоимости, содержащих необходимое количество питательных веществ. План задачи (х) – это количество x_j, обеспечивающих необходимое количество питательных веществ, при минимуме затрат на исходные продукты.

Min Z= c _j x _j

x _j =>0.

B _i <= a _ij x _j

Транспортная задача.

Рациональной перевозки некоторого продукта от производителей к потребителю. При этом имеется баланс между суммарным спросом потребителя и возможностями поставщиков по их удовлетворению. Потребителям безразлично из каких пунктов будет поступать продукция, лишь бы их заявки были полностью удовлетворены. Задача о более рациональном прикреплении потребителя к поставщикам, правильном направлении перевозок груза, при котором потребности полностью удовлетворяются, вся продукция от поставщиков вывозится, затраты на транспорт минимальны.

Имеется m-пунктов производства, в каждом из которых сосредоточено a_i, где i=(1;m) единица однородного продукта. Этот продукт необходимо доставить n–потребителям, где потребность b_i. c_ij – это затраты на перевозку единицы продукта из i–пункта производства в j–пункт потребителя. х_ij – количество продукта, перевозимые из i–пункта производства в j–пункт потребителя. Составляем макет.

Bi , a i	B1	B 2	…	bn
A 1	C11 X11	C12 X12	…	C1n X1n
A2	C21 X21	C22 X22	…	C2n X2n
…	…	…	…	….
a m	Cm1 Xm1	Cm2 Xm2	…	C mn Xmn

Целевая функция минимальна при следующих ограничениях:

1) на возможности поставщиков весь продукт из пунктов производства должен быть вывезен.

x _ij = a _i

2) ограничение на спрос потребителей, который должен быть удовлетворен.

B _I= x _ij

3) ограничение неотрицательности.