Лекция 4 Понятие двойственности. Построение двойственных задач.

1.Понятие двойственности для симметричных задач линейного программирования.

Рассмотрим задачу оптимального использования сырья. Пусть на предприятии решили использовать рационально отходы основного производства. В плановом периоде появились отходы сырья m-видов, в объеме b_i, где i=1,2,….,m. Из этих отходов можно выпуклость n-видов неосновной продукции. Пусть a _ij –норма расхода сырья i–вида на единицу j–продукции, где j=1,2…,n.c _j –цена реализации единицы j–продукции. х_j–объем выпуска j–продукции, обеспечивающий предприятию max прибыли.

Max Z=c₁x₁+c₂x₂+…+c _n x _n

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n<=b₁

……………………………

A_m1x₁+a_m2x₂+….+a _mn x _n<b _m

Предположим, что при изучении вопроса об использовании отходов основного производства, на предприятии появилась возможность реализации их некоторой организации. Обозначим цены на эти отходы У₁,У₂,…,У_m.

Данные цены (оценки) должны быть установлены исходя из некоторых требований, отражающих несовпадающие интересы предприятия и сторонней организации

Данные цены (оценки) должны быть установлены исходя из некоторых требований, отражающих несовпадающие интересы предприятия и сторонней организации:

1)общую стоимость отходов сырья, покупаемая организация стремиться минимизировать.

2)предприятие уступить отходы только по таким ценам , при которых оно получает за них выручку не меньшую той , что могли бы получить , организовав собственное производство.

Min f=b₁y₁+b₂y₂+…+b _m y _m

A₁₁y₁+a₂₁y₂+…+a_m1y_m=>c₁, левая часть означает выручку за сырье, которая поступает на производство единицы продукции первого вида.

……………………………

A_1ny₁+a_2ny₂+…+a _mn y _m=>c _n

Переменные y _i называются двойственными оценками. Или объективно-обусловленными оценками. Или же теневыми ценами.

Эти задачи называются парой взаимодвойственных задач. Так как эти задачи записаны в симметричной форме их привыкли называть парой симметричных двойственных задач.

Прямая Max Z= c j x j a ij xj <=b I

Двойственная Min Z= bi x i a ij xj => cj

Их взаимосвязь между собой:

1)если прямая на max,то двойственная будет на min и наоборот.

2)коэффициент c _j целевая функция прямой задачи является свободными членами ограничений двойственной задачи.

3)свободные члены b_i ограничений прямой задачи является коэффициент функции двойственной задачи.

4)матрицы ограничений прямой и двойственной задач является транспонированными друг другу.

5)если прямая задача на max,то ее система ограничений неравенства со знаком меньше или равно. Двойственная решается на min и ее система больше или равно.

6)чисто ограничений прямой равно числу переменных двойственной,а число ограничений двойственной равно числу переменных прямой.

7)все переменные в задачах неотрицательные.

Пример: предприятие может выпускать 4 вида продукции, сбыт любого количества продукции обеспечен. Для изготовления продукции используются трудовые ресурсы: полуфабрикаты и становочные оборудования. Общий объем ресурсов в расчете на трудовую неделю, расход каждого ресурса на единицу выпускаемой продукции и прибыль,получаемая за единицу выпускаемой продукции. Требуется определить план выпуска, доставляющий max прибыли. Выполнить послеоптимизационный анализ решения и параметров модели.

ресурсы	П1	П2	П3	П4	Объем
Трудовые	4	2	2	8	4800
Полуфабрикаты	2	10	6	0	2400
Стан.оборуд-е	1	0	2	1	1500
Цена за единицу	65	70	60	120

Max Z=65V₁+70V₂+60V₃+120V₄

4 V₁+2V₂+2V₃+8V₄<=4800

2V₁+10V₂+6V₃<=2400

V₁+2V₃+V₄<=1500

V₁, V₂,V₃, V₄ =>0

Min f=4800y₁+2400y₂+1500y₃

y ₁ ,y ₂ =>0

4y₁+2y₂+y₃=>65