2. Свойства определенного интеграла

Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла:

1) если функция f интегрируема на и , то

;

2) если функции f, g интегрируемы на , , то функция интегрируема на и ;

3) если функция f интегрируема на отрезке и для любого , то ;

4) если функции f и g интегрируемы на отрезке и для любого , то .

Теорема 2 (о среднем). Если функция f непрерывна на , то существует такая точка , что .

3. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница

В этом параграфе мы докажем основную формулу интегрального исчисления, устанавливающую связь между понятиями определенного интеграла и первообразной функции.

Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда при любом существует интеграл , т.е. определенный интеграл с переменным верхним пределом является некоторая определенная на отрезке функция .

Теорема 1. Если функция f непрерывна на отрезке , то функция f имеет на отрезке первообразную, а именно функцию .

Доказательство. Докажем, что функция является первообразной для f на , т.е. при любом .

По определению производной, .

Зафиксируем . Зададим такое, что .

Вычислим .

Тогда приращение функции .

По теореме о среднем, существует такая точка  между точками x и , что , следовательно, . Если , то . В силу непрерывности f имеем . Следовательно, , т.е. . Теорема доказана.

Теорема 2 (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция f непрерывна на отрезке . Тогда, если функция F - какая-либо первообразная функции f на отрезке , то .

Доказательство. По условию функция F является первообразной функции f на . По теореме 1, функция также является первообразной функции f на . По теореме об общем виде первообразных, существует такое число , что для всех .

. . Тогда, и .

Итак, при всех . Тогда .

Но . Следовательно, .

Замечание. Для приращения первообразной F на часто применяется обозначение . Тогда формула Ньютона-Лейбница выглядит так: .

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Рассмотрим обобщения определенного интеграла, которые появляются при отказе от ограниченности промежутка интегрирования.

Определение 1. Пусть функция определена на промежутке и для любого интегрируема на отрезке . Тогда формальный символ называется несобственным интегралом функции f на промежутке .

Определение 2. Пусть функция определена на промежутке и для любого интегрируема на отрезке . Возникает функция :

1) если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, этот предел называется значением несобственного интеграла, и пишут ;

2) если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Ответ на вопрос о сходимости несобственного интеграла в ряде случаев важнее, чем ответ на вопрос о значении этого интеграла. Этим объясняется значимость признаков сходимости несобственных интегралов.

Теорема. Пусть функции и определены на промежутке , для любого интегрируемы на , и для любого выполняется условие . Тогда:

1) если - сходится, то - сходится;

2) если - расходится, то - расходится.

Признаки сравнения удобны для применения при наличии набора несобственных интегралов, сходимость (расходимость) которых известна.

Пример 3.   .

Действительно, если , то

.

Если , то .

Если , то для любого выполняется условие . Тогда, из расходимости следует расходимость .

Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Для любого выполняется условие . Из сходимости интеграла следует сходимость данного интеграла.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке : .

Несобственный интеграл на промежутке определяется как сумма двух интегралов рассмотренного вида:

(с - любое число).

При этом, интеграл на называется сходящимся, если сходятся оба интеграла на и .