Б. Рпр. Расчет статически определимого вала на прочность и жесткость.
Задается:
схема нагружения вала (рис. 7), длины
участков вала:
;
;
;
;
,
величины распределенных моментов:
;
;
;
;
,
величины сосредоточенных моментов:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Требуется:
построить эпюру крутящих моментов
;из расчета на прочность, приняв
,
определить размеры поперечных сечений
бруса;построить эпюру касательных напряжений
;построить эпюру углов закручивания
;произвести проверку условия жесткости на отдельных участках вала (при невыполнении условия жесткости подобрать соответствующие размеры из последнего);
выполнить эскиз вала в соответствии с назначенными размерами.
Рис. 7. Схема нагружения вала
Рис. 8. Расчетная схема вала, эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания
Решение
Определение реактивного момента
в заделке (рис. 8,а).
Для определения реактивного момента составляется уравнение равновесия вала:
.
Учитывая, что , определяется реактивный момент:
.
Разбивка вала на участки.
Для
построения эпюры крутящих моментов
по длине вала необходимо рассмотреть
пять участков с координатами:
,
,
,
,
(рис. 8,а).
Определение законов изменения крутящего момента по участкам вала.
3.1. Первый участок (рис. 9).
Рис.
9. К определению
на первом участке
Координата
для первого участка изменяется в пределах
.
Уравнение равновесия для отсеченной (левой) части вала имеет вид:
;
.
Крутящий момент на границах участка принимает значения:
при
;
,
при
;
.
3.2. Второй участок (рис. 10).
Рис.
10. К определению
на втором участке
На
втором участке координата
изменяется в пределах
.
Уравнение равновесия для отсеченной части вала записывается в виде:
,
.
На втором участке крутящий момент постоянен по длине участка и равен .
3.3. Третий участок (рис. 11).
Рис.
11. К определению
на третьем участке
Координата
для третьего участка изменяется в
пределах
.
Уравнение равновесия для отсеченной части вала и значения крутящего момента в граничных сечениях участка соответственно равны:
.
На
третьем участке крутящий момент постоянен
по длине участка и равен
.
3.4. Четвертый участок (рис. 12).
Рис.
12. К определению
на четвертом участке
Координата
для третьего участка изменяется в
пределах
.
Уравнение равновесия для отсеченной части вала и значения крутящего момента в граничных сечениях участка соответственно равны:
.
На
третьем участке крутящий момент постоянен
по длине участка и равен
.
3.5. Пятый участок (рис. 13).
Рис.
13. К определению
на пятом участке
Координата
на пятом участке изменяется в пределах
.
Уравнение равновесия для отсеченной (левой) части вала имеет вид:
.
На
пятом участке крутящий момент постоянен
по длине участка и равен
.
Из условия прочности определяем размеры поперечных сечений бруса (приняв ).
.
4.1. Первый участок:
;
;
.
Примем
.
4.2. Второй участок:
;
,
.
4.3. Третий участок:
;
,
.
Примем
.
4.4. Четвертый участок:
;
,
.
Примем
.
4.5. Пятый участок:
;
,
.
Примем
,
следовательно
.
Определение закона изменения касательного напряжения по участкам вала.
5.1. На первом участке закон изменения касательного напряжения в соответствии с формулой (3) имеет вид:
Касательное
напряжение линейно зависит от координаты
и на границах участка принимает значения:
при
;
;
при
;
.
5.2. На втором участке касательное напряжение на границах участка принимает значения:
.
5.3. На третьем участке касательное напряжение равно:
.
5.4. Касательное напряжение на четвертом участке равно:
.
5.5. На пятом участке касательное напряжение равно:
.
По
результатам вычислений строится эпюра
касательных напряжений
(рис.8,
в).
Определение закона изменения углов закручивания на участках вала.
6.1. На первом участке угол закручивания в соответствии с законом Р. Гука равен:
.
Угол закручивания изменяется по кривой второго порядка и на границах участка принимает значения:
при
;
,
при
;
.
Определим
выпуклость кривой
,
следовательно, кривая
выпукла вниз.
Условие
экстремума кривой –
,
,
следовательно, функция
имеет экстремум на границе участка при
.
Вычислим угол закручивания при :
6.2. На втором участке угол закручивания равен:
;
при
;
,
при
;
6.3. На третьем участке угол закручивания равен:
;
при
;
;
при
;
.
6.4. На четвертом участке угол закручивания равен:
при
;
;
при
;
.
6.5. На пятом участке угол закручивания равен:
при
;
;
при
;
.
Выполняется проверка условия жесткости на каждом участке вала. Условие жесткости имеет вид:
,
где
.
;
;
;
;
.
Так как размеры сечений бруса, выбранные из условия жесткости меньше, чем размеры, выбранные из условия прочности, то принимаются такие размеры, которые будут удовлетворять условию прочности.
Рис. 14. Эскиз проектируемого вала