6.7. Метод наименьших квадратов

По результатам выполнения совместных измерений разноименных величин в n опытах обычно определяется зависимость между этими величинами. Например, при градуировке термометра, определения коэффициента удлинения, электрического сопротивления в зависимости от температуры и т.д. Эта зависимость может быть определена различными методами. На практике обычно для этого используется метод наименьших квадратов (МНК).

Суть метода заключается в том, что оценки выбирают таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей условным уравнением

.

достигает минимума при значениях , обращающих в ноль все частные производные от по искомым величинам:

, j = 1,2,...,n.

МНК применим для различных зависимостей: линейной, параболической, полинома различной степени и др.

Рассмотрим этот метод на простом, но часто встречающемся случае совместных измерений двух ФВ X и Y, причем, известно, что зависимость между ними линейная: Y=+X.

Производят совместные измерения значений X_i и соответствующих им значений Y_i, получая зависимость Y=f(X) (рис. 6.4).

Применять МНК в этом случае можно, если соблюдать следующие три условия:

1. Значения Х_i округляется с пренебрежительно малой погрешностью, т.е. для всех результатов измерений Х_i можно пренебречь .

2. Результат измерений величин Yi содержит только случайные погрешности с дисперсией D.

- т.е. измерения равноточные,

3. Случайная погрешность распределяется по нормальному закону.

При этих условиях оценка методом наименьших квадратов является состоятельной, несмещенной и эффективной (D=D_min).

Удобнее представить зависимость Y=f(X) в виде:

,где b=, a₀=+bX.

В этом случае неизвестные параметры a₀ и b, которые необходимо определить при проведении совместных измерений, определяются следующим образом:

. . . . . . . . . . (6.46), где

n - число точек, в которых производятся совместные измерения.

Дисперсия погрешностей определения параметров a₀ и b равна:

.

Можно заметить, что результаты прямых измерений, полученных ранее, как среднее арифметическое результатов наблюдений, является оценкой методов наименьших квадратов.

Полученная методом наименьших квадратов оценка истинного значения измеряемой ФВ является состоятельной, несмещенной и эффективной и имеет большое практическое значение при проведении технических измерений и, прежде всего, при построении градуировочных характеристик СИ.

Контрольные вопросы

1.В чем заключается суть метода наименьших квадратов?

2.Какова особенность оценок, полученных с помощью метода наименьших квадратов?

3.В каких случаях можно применять метод наименьших квадратов?

4.Как можно оценить погрешность параметров зависимости, аппроксимированной прямой линией, если эти параметры получены методом наименьших квадратов?

7. Средства измерений и их классификация

7.1. Средства измерений

Понятие и термин «средство измерений» получили широкое распространение в метрологической практике с начала 70-х годов, когда этот термин был введен. К этому времени стала ясной необходимость, особенно для технических измерений, разработки единой метрологической методологии, охватывающей все области измерений. В связи с этим было признано необходимым ввести некоторый термин, который охватывал бы любое техническое устройство, предназначенное для выработки, преобразования, отображения информации о размерах (значениях) измеряемых величин. Таким образом, в принятом термине под средством измерения понималось техническое устройство, предназначенное для выработки, преобразования, отображения информации о размерах измеряемых физических величин. Прежде каждое из подобных технических устройств именовалось отдельно, и, при необходимости формирования каких-либо правил, методов, требований и т.п., относящихся ко всем таким техническим устройствам, давалось просто их перечисление. При выработке соответствующего термина не вызывало сомнений, что он должен охватить измерительные показывающие и регистрирующие приборы, измерительные преобразователи (первичные и промежуточные), измерительные и информационно-измерительные системы, меры. Термин «средство измерения» был введен и получил широкое распространение как в литературе, так и в метрологических нормативных и методических документах.

Как известно, средства измерений подвергаются соответствующему метрологическому контролю и надзору, т.е. существует ряд обязательных правил и требований, которые должны соблюдать как разработчики средств измерений, так и потребители. После введения термина «средство измерения», о котором говорилось ранее, на практике оказалось, что принятое определение недостаточно четко. Это вызвало необходимость уточнения принятого термина. В настоящее время принято следующее определение: средство измерения - техническое средство (или их комплекс), предназначенное для измерений, имеющее нормированные метрологические характеристики, воспроизводящее и (или) хранящее единицу физической величины, размер которой принимается неизменным (в пределах установленной погрешности) в течение известного интервала времени (РМГ 29-99).

Метрологические характеристики - это характеристики свойств СИ, оказывающие влияние на результаты измерений.

Термин «средство измерения» не является однородным понятием, определяющем совокупность идентичных технических средств. Он является понятием обобщенным, объединяющем самые разнообразные конструктивно законченные устройства, обладающие одним из двух следующих признаков:

1. Они вырабатывают сигнал (показание), несущий информацию о размере (значении) измеряемой физической величины.

2. Воспроизводят величину заданного (известного) размера.

Объединение технических устройств по этим двум признакам сделано только из соображений целесообразности общего метрологического анализа и регламентации метрологических требований и правил, единых для измерительных, показывающих и регистрирующих приборов, измерительных преобразователей, измерительных систем, измерительных комплексов, мер.

Применение средств измерений невозможно без знания степени соответствия информации, содержащейся в их выходном сигнале (показаниях), о размере измеряемой (преобразуемой) величины ее истинному размеру. Для этого метрологические характеристики средств измерений нормируются. Это позволяет знать инструментальную погрешность средств измерений.

Всякое средство измерения (кроме некоторых мер) в общем случае можно рассматривать как некоторую цепь (механическую, электрическую и др.), для которой характерна определенная зависимость между информативным параметром (показанием прибора) выходного сигнала и измеряемой величиной. Это справедливо и для таких специфических средств измерений, как измерительные (информационно - измерительные) системы (ИС, ИИС), состоящие в свою очередь из более простых средств измерений и различных технических устройств.