4. Задача

Довести, що для довільних допустимих сагайдаків Q_1, Q₂ існує допустимий сагайдак Q, який має підсагайдаки Q_1, Q₂.

Доведення. Нехай Q₁ має n вершин, Q₂ має m вершин. Q_1, Q₂ – допустимі сагайдаки, тому існують зведені матриці показників ₁M_n(), ₂ M_m() для яких Q(₁)=Q₁, Q(₂)=Q₂. Нехай ₁ та ₂ –матриці з невід’ємними елементами (цього завжди можна досягти елементарними перетвореннями першого типу). Нехай p – натуральне число, яке більше за всі елементи матриць ₁ та ₂. Побудуємо матрицю =(_ij)M_m+n():

= ,

де U – матриця, всі елементи якої дорівнюють 1.

Доведемо, що  – зведена матриця показників.

1) Оскільки ₁ та ₂ — матриці показників, то _ii=0 для всіх i.

2) Доведемо, що _ij+_ji≥1 для ij. Розглянемо декілька випадків.

Оскільки ₁ та ₂ – зведені матриці показників, то для 1i, jn або n+1i, jn+m _ij+_ji≥1 для ij.

Якщо 1in, n+1jn+m або 1jn, n+1in+m, то _ij=_ji=p. Тому _ij+_ji>1.

Отже, _ij+_ji≥1 для ij.

3) Доведемо, що _ij+_jk_ik для всіх i, j, k.

Якщо 1i, j, kn, то нерівність _ij+_jk_ik виконується, бо ₁ – матриця показників.

Якщо n+1i, j, kn+m, то нерівність _ij+_jk_ik виконується, бо ₂ – матриця показників.

В інших випадках хоча б одне з чисел _ij або _jk дорівнює p. Тому

_ij+_jk ≥p≥_ik.

Отже, нерівність _ij+_jk_ik виконується для всіх i, j, k.

З умов 1) – 3) випливає, що  – зведена матриця показників.

Нехай 1≤i, j≤n, i≠j. = . Якщо k>n, то _ik+_kj =2p> _ij. Тому рівність _ik+_kj=_ij можлива лише при k≤n. Тоді

= = = q_ij.

= = = q_ij.

Звідси отримуємо, що =0 тоді і тільки тоді, коли q_ij =0.

Аналогічно отримуємо для n<i, j≤m+n

= = = q_ij.

= = = q_ij.

Тому =0 тоді і тільки тоді, коли q_ij =0. Тоді матриця [Q()] має наступний вигляд:

[Q()] = .

Отже, сагайдаки Q(₁) та Q(₂) є підсагайдаками сагайдака Q(). Теорема доведена.

Висновок

У кваліфікаційній роботі описані властивості матриць показників та сагайдаків матриць показників. Доведено,що для довільних допустимих сагайдаків Q_1, Q₂ існує допустимий сагайдак Q, який має підсагайдаки Q_1, Q₂.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Hazewinkel Michiel Algebras, rings and modules / Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, – 2004. – Vol. 1.– xii+380 pp. (Mathematics and its Applications, 575). – ISBN: 978-1-4020-2690-0.

2. Hazewinkel Michiel Algebras, rings and modules / Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, – 2007. – Vol. 2. – xii+400 pp. (Mathematics and its Applications, 586.) – ISBN: 978-1-4020-5141-8.

3. Kirichenko V. V. Exponent matrices and their quivers / V. V. Kirichenko, A. V. Zelensky, V. N. Zhuravlev // Bul. Acad. de Stiinte a Rep. Moldova, Mate-matica. – 2004. – №1 (44), P. 57-66.

4. Zh.T. Chernousova, M.A. Dokuchaev, M.A. Khibina, V.V. Kirichenko, S.G. Miroshnichenko, V.N. Zhuravlev Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets. II. / [Zh.T. Chernousova, M.A. Dokuchaev, M.A. Khibina, V.V. and others] // Algebra and Discrete mathematics. – Lugansk: Lugansk State Pedagogical Univ. – 2003. – №2. – P. 47-86.

26