2. Загальні властивості матриць показників і їх сагайдаків

Означення 2.1. Матриця =(_ij)M_n() (M_n() – це кільце матриць розмірності n з цілими елементами ), для якої виконуються наступні умови:

1) _ij + _jk _iк для всіх i, j, k =1, … , n,

2) _ii =0 для всіх i=1, … , n,

називається матрицею показників. Матриця показників, для якої виконується умова

3) _{ij +} _ji ≥1 для всіх i, j {1,… , n} (i j)

називається зведеною матрицею показників.

Нехай =(_ij) – зведена матриця показників. Введемо матрицю ⁽¹⁾=(_ij)=+Е_n M_n(), де Е_n – одинична матриця. Введемо матрицю ⁽²⁾=(_ij)M_n(): _ij= .

Означення 2.2. Сагайдаком зведеної матриці показників Q=Q() називається сагайдак, матриця суміжності якого задається формулою [Q]= ⁽²⁾- ⁽¹⁾.

Приклад. = ,  ⁽¹⁾= ,  ⁽²⁾= ,

[Q()]= .

Для елементів матриці суміжності сагайдака Q маємо наступні формули:

q_ij=_ij-_ij = = = = .

q_ii= = -1= .

Звідси отримуємо, що q_ij=1 при i≠j тоді і тільки тоді, коли _ik + _kj > _ij для всіх k≠i, j. q_ii=1 тоді і тільки тоді, коли _ik + _ki >1 для всіх k≠i.

Означення 2.3. Зведені матриці показників ₁ і ₂ називаються еквівалентними, якщо одну можна отримати з іншої за допомогою елементарних перетворень двох типів:

1. Відняти ціле число t від елементів і^го рядка та добавити це число до елементів і^го стовпчика,

2. Поміняти місцями два рядки і поміняти місцями два стовпчика з такими ж номерами.

Твердження 2.4. Нехай =(_ij) і =(_ij) – зведені матриці показників і матриця  отримується з матриці  перетворенням першого типу. Тоді [Q()]=[Q()].

Теорема 2.5. Нехай =(_ij) і =(_ij) – зведені матриці показників і матриця  отримується з матриці  перетворенням другого типу, тоді

[Q()]= [Q()]P_.

Зауваження 2.6. Нехай ^*=(_ij)M_n() – зведена матриця показників з нульовим першим рядком. Тоді _ij≥0 для i, j=1, …, n.

Доведення. _1i+_ij≥_1j. Тому _ij≥0 для i, j=1, …, n.

Твердження 2.7. Множина зведених матриць показників утворює відносно додавання напівгрупу, яка не є моноїдом.

Доведення. Нехай A=(_ij), B=(_ij)M_n()–зведені матриці показників. Доведемо, що матриця С=(c_ij)=A+ B – зведена матриця показників.

1) _ii=0, _ii=0. Тому c_ii=_ii+_ii=0 для i=1, …, n;

2) _ik+_kj≥_ij , _ik+_kj≥_ij. Тоді (_ik+_ik)+(_kj+_kj) ≥(_ij+_ij) , тобто c_ik+c_kj≥c_ij;

3) _ij+_ji≥1, _ij+_ji≥1. Тоді (_ij+_ij)+(_ji+_ji)≥2, тобто c_ij+c_ji≥2 при i≠j.

Отже, С – зведена матриця показників.

Наслідок 2.8. Якщо A=(_ij) M_n(), B=(_ij)M_n() – зведені матриці показників, С=(c_ij)=A+ B, то Q(C) – сагайдак з петлею в кожній вершині.

Доведення. (_ij+_ij)+(_ji+_ji)≥1+1=2. Тому c_ij+c_ji≥2 для i≠j i, j=1, … ,n.

Оскільки q_ii= , то q_ii=1 для i=1, …, n.

Наслідок 2.9. Якщо =(_ij)M_n() – матриця показників, то ^*=(ka_ij)M_n() – також матриця показників (k).

Теорема 2.10. Якщо  – зведена матриця показників, Q=Q()–сагайдак матриці показників, то матриця [Q] є (0, 1) – матрицею суміжності сильно зв’язного сагайдака.

Доведення. Нехай =(_ij), ⁽¹⁾= +E, ⁽²⁾ =(_ij), де _ij= . З нерівності _ij + _jk _iк випливає, що _ij _ij. Тому q_ij=_ij-_ij ≥0. Оскільки _ij≤_ij+_ii=_ij+1, то q_ij=_ij-_ij ≤1. Отже, q_ij{0, 1}, тому [Q] – матриця суміжності простого сагайдака. Доведемо, що сагайдак Q – сильно зв’язний. Припустимо протилежне. Тоді можна вибрати вершини i та j, для яких не існує шляху із i в j. Нехай множина VQ(i)=V₁ – множина всіх вершин k сагайдака Q, для яких існує шлях, який починається в i та закінчується в деякій вершині k. Очевидно, що V₂ =VQ/VQ(i) (j VQ/VQ(i)). Тому VQ=V₁ V₂ та V₁ V₂=. З побудови множин V₁ і V₂ випливає відсутність стрілок, які_, починаються в V₁ і закінчуються в V₂. Не зменшуючи загальності можна вважати, що V₁={1, …, m}, V₂={m+1, …, s} (цього можно досягти перетворенням другого типу). Крім того, за допомогою елементарного перетворення першого типу можна зробити елементи першого рядка матриці  рівними 0, тобто _1p=0 для p=1, …, s. Отже, _pq=0 для p≤m, q>m і

[Q]= , ,

де ₁M_m(),₂M_s-m().

З матрицею показників ₂ ми зв’язуємо частково впорядковану множину ={m+1, …, s} з відношенням порядку i≤j тоді і тільки тоді, коли _ij=0. Можна вважати, що m+1 – мінімальний елемент. Тоді _im+1>0 для i>m+1. q_1m+1=0, тому існує k, (2≤k≤ m) для якого _1m+1=_1k+_km+1. Одночасно міняючи місцями 2-ий і k-ий стовпчик і 2-ий і k-ий рядок в , ми одержуємо, що ₁₂=0 і _2m+1=0. В матриці [Q] елемент q_2m+1=0. Знову одержуємо, що існує k, (3≤k≤ m), для якого _2m+1=_2k+_km+1. Знову можна вважати, що ₂₃=0 та _3m+1=0. Елементи матриці  ⁽¹⁾ ₃₁=₃₁, ₃₂=₃₂, ₃₃=1 не нульові. Знову q_3m+1=0 та _3m+1=0=_3k+_km+1 для 4≤k≤m. Отже, a_4m+1=0. Продовжуючи цей процес, ми одержуємо

₁₂=₂₃=…=_m-1m=0 і _im+1=0 для i=1, …, m.

Отже, матриця ₁ – нижньо трикутна матриця і всі елементи під головною діагоналлю – натуральні числа. Тому q_mm+1= =1-0=0. Ми одержали протиріччя. Теорема доведена.