4 Условная вероятность Правило умножения вероятностей

Пусть А и В – некоторые события, причём Р(В) > 0. Условной вероятностью события А при условии В (обозначается Р(А | В) или P_B (A) ) называется вероятностью события А, найденная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность находится по формуле

Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А

Из этих формул следует

Теорема 4.1 (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В | А) = Р(В) ∙ Р(А | В).

Понятие условной вероятности, так же как и правило умножения вероятностей естественным образом обобщаются на случай произвольного числа событий. А именно, в случае п событий имеем

P(A₁ ∙ A₂ ∙…∙ A_n) =P(A₁) ∙ P(A₂ | A₁) ∙ P(A₃ | A₁A₂) ∙…∙ P(A_n | A₁A₂ ∙…∙ A_n–1).

Независимые события

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, осуществилось или нет событие В.

В этом случае условная вероятность события А при условии В равна безусловной вероятности события А, т. е. выполняется равенство

Р(А | В) = Р(А).

Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от А. Оба события при этом называются независимыми.

Таким образом, два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает вид:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В).

Эта формула часто используется в качестве определения независимых событий.

События A₁, A₂, …, A_n называются независимыми (или независимыми в совокупности), если вероятность каждого из них не зависит от осуществления или неосуществления любого числа остальных событий.

В случае п независимых событий имеем

P(A₁ ∙ A₂ ∙ A₃ ∙…∙ A_n) =P(A₁) ∙ P(A₂) ∙ P(A₃) ∙…∙ P(A_n).

События A₁, A₂, …, A_n называются попарно-независимыми, если любые два события А_i и А_j (i ≠ j) из этого набора независимы.

Независимые события A₁, A₂, …, A_n являются попарно-независимыми. Обратное, вообще говоря, неверно.

Вероятность суммы совместных событий

Теорема 4.2 Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей минус вероятность их произведения, т.е.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Для трёх событий А, В и С имеем:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

В случае трёх и большего числа событий для нахождения вероятности суммы S этих событий проще найти вероятность противоположного события , а затем воспользоваться равенством P(S) = 1 – P( )

5 Формула полной вероятности. Формула бейеса

Теорема 5.1 Пусть событие А может произойти только с одним из событий H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, т.е. и

Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности

(5.1)

При этом события H₁, H₂, …, H_n обычно называют гипотезами, а числа P(H_i) – вероятностями гипотез.

Теорема 5.2 Если в результате опыта осуществилось событие А, то прежние, доопытные (или априорные) вероятности гипотез P(H₁),…, P(H_n) должны быть заменены на новые, послеопытные (или апостериорные) вероятности P(H₁|A),…, P(H_n|A), которые вычисляются по формуле Бейеса:

(i = 1, 2,…, п), где вероятность Р(А) вычисляется по формуле (5.1).

Пример 1. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м заводе, 15% – на 2-м, остальные – на 3-м заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96; 0,84; 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.

█Решение. Пусть событие: А = {телевизор выдержит гарантийный срок работы}, а гипотезы H₁ = {телевизор изготовлен на 1-м заводе}, H₂ = {телевизор изготовлен на 2-м заводе}, H₃ = {телевизор изготовлен на 3-м заводе}.

События H₁, H₂, H₃ образуют полную группу несовместных событий, при этом ; ; . (Для контроля можно найти сумму вероятностей гипотез; она должна равняться единице )

По условию , . Отсюда по формуле полной вероятности имеем

█

П ример 2 На рисунке изображена схема дорог. Туристы выходят из пункта А, выбирая наугад на каждой развилке дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт B?

¼∙¼ + ¼∙½ + ¼∙1 + ¼∙¹/₃ = ²⁵/₄₈

Пример 3. Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.

█Решение. Пусть событие A = {устройство отказало}. До опыта, т.е. до отказа устройства, можно сделать следующие предположения-гипотезы-.

H₁₂₃ = {откажут все три элемента};

H₁₂ = {откажут два элемента: 1-й и 2-й, 3-й – не откажет};

H₁₃ = {откажут два элемента: 1-й и 3-й, 2-й – не откажет};

H₂₃ = {откажут два элемента: 2-й и 3-й, 1-й – не откажет};

H₁ = {откажет один элемент: 1-й, не откажут 2-й, 3-й};

H₂ = {откажет один элемент: 2-й, не откажут 1-й, 3-й};

H₃ = {откажет один элемент: 3-й, не откажут 1-й, 2-й};

H₀ = {все элементы, будут работать}.

Пользуясь правилом умножения вероятностей для независимых событий, найдем вероятности этих гипотез:

P(H₁₂₃) = 0,2 ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,024;

P(H₁₂) = 0,2 ∙ 0,4 ∙ 0,7 = 0,056;

P(H₁₃) = 0,2 ∙ 0,6 ∙ 0,3 = 0,036;

P(H₂₃) = 0,8 ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,096;

P(H₁) = 0,2 ∙ 0,6 ∙ 0,7 = 0,084;

P(H₂) = 0,8 ∙ 0,4 ∙ 0,7 = 0,224;

P(H₃) = 0,8 ∙ 0,6 ∙ 0,3 = 0,144;

P(H₀) = 0,8 ∙ 0,6 ∙ 0,7 = 0,336.

(Контроль: = 0,024 + 0,056 + ... + 0,336 = 1.)

Учитывая, что в результате опыта произошло событие А, которое невозможно при гипотезах H₁₂₃, H₁₂, H₁₃, H₂₃ и достоверно при гипотезах H₁, H₂, H₃, H₀, найдем условные вероятности событий Р(А |  H_i):

Р(А | H₁₂₃) = 1, Р(А | H₁₂) = 1, Р(А | H₁₃) = 1, Р(А | H₂₃) = 1, Р(А | H₁) = 0, Р(А | H₂) = 0, Р(А | H₃) = 0, Р(А | H₀) = 0.

Найдем вероятность гипотезы H₁₂ при условии, что событие А произошло (т.е. Р(H₁₂ | А) по формуле Бейеса. Для этого предварительно найдём вероятность события A по формуле (5.1)

█