2 Случайные события. Действия над событиями

Случайным событием (или просто: событием) называется такой исход опыта (испытания, эксперимента, наблюдения), который может произойти или произойти.

События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, …

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта; достоверное событие обозначается через Ω.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта; невозможное событие обозначается через .

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

События A₁, A₂, …, A_n называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.

События A₁, A₂, …, A_n образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (т. е. все события имеют равные «шансы»).

Суммой событий А и В называется событие С = А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В (т.е. или А, или В, или оба вместе).

Произведением событий А и В называется событие С = А ∙ В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В (т.е. и А и В вместе).

Разностью событий А и В называется событием С = А – В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит В.

Событие А влечет событие В (или: А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует наступление события В; записывают это так: АÍ В.

Если АÍ В и ВÍ А, то события А и В называются равными; обозначается это следующим образом: А = В.

Противоположным событию А называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями

Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом.

Множество Ω = {ω} всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта (испытания, эксперимента) называется пространством элементарных событий (коротко ПЭС), а сами исходы ω – элементарными событиями (или «элементами», «точками»).

Случайным событием (или просто событием) называется любое подмножество множества Ω.

Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Ω, называются благоприятствующими событию А.

Множество Ω называется достоверным событием; ему благоприятствует любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произойдёт.

Пустое множество называется невозможным событием; в результате опыта оно произойти не может.

Под операциями (действиями) над событиями понимаются операции над множествами, точнее – подмножествами пространства Ω.

Сумма (или объединение) двух событий А Í Ω и В Í Ω (обозначается А + В или AÈB) – это множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из событий А и В.

Произведение (или пересечение) двух событий А Í Ω и В Í Ω (обозначается А ∙ В или AÇB) – это множество, которое состоит из элементов, общих для событий А и В.

Разность событий АÍ В и ВÍ А (обозначается А – В или А \ В) – это множество, которое содержит те элементы события А, которые не входят в В.

Противоположным событию А Í Ω называется событие = Ω \А; множество называют также дополнением множества А.

Событие А влечет событие В (или А есть подмножество В), если каждый элемент события А содержится в В; обозначается А Í В.

По определению Í А для любого А.

События А и В называются несовместными, если их произведение (пересечение) есть невозможное событие, т. е. А ∙ В = .

Несколько событий A₁, A₂, …, A_n образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события попарно несовместны, т.е. и

Полную группу, в частности, образуют события А и (А + = Ω, А ∙  = Æ).

Операции над событиями (множествами) обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А, А ∙ В = В А (переместительное);

2. (А+В) ∙ С = А∙С+В∙С, А∙В+С = (А +С) ∙ (В +С) (распределительное);

3. (А + В) + С = А + (В + С), (А ∙ В) ∙ С = А ∙ (В ∙ С) (сочетательное);

4. А + А = А, А ∙ А = А;

5. A + Ω = Ω, A ∙ Ω = A;